Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 28897 / 21155
↖ ↑ ↗
← N 76.412037°
W100.632019°		 ← 71.76 m → N 76.412037°
W100.629273°		 →
↑
71.74 m
↓
↑
71.74 m
↓
N 76.411392°
W100.632019°		 ← 71.76 m →
5 148 m²		 N 76.411392°
W100.629273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28897 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21155 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220470428466797 y=0.161403656005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220470428466797 × 217)
    floor (0.220470428466797 × 131072)
    floor (28897.5)     		tx = 28897
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161403656005859 × 217)
    floor (0.161403656005859 × 131072)
    floor (21155.5)     		ty = 21155
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28897 / 21155 ti = "17/28897/21155"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28897/21155.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28897 ÷ 217
    28897 ÷ 131072     		x = 0.220466613769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21155 ÷ 217
    21155 ÷ 131072     		y = 0.161399841308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220466613769531 × 2 - 1) × π
    -0.559066772460938 × 3.1415926535     		Λ = -1.75636007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.161399841308594 × 2 - 1) × π
    0.677200317382812 × 3.1415926535     		Φ = 2.12748754203771
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75636007} λ = -1.75636007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12748754203771))-π/2
    2×atan(8.39375134928116)-π/2
    2×1.4522189831007-π/2
    2.90443796620139-1.57079632675     		φ = 1.33364164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75636007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.632019°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33364164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.412037°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28897 KachelY 21155 -1.75636007 1.33364164 -100.632019 76.412037
    Oben rechts KachelX + 1 28898 KachelY 21155 -1.75631213 1.33364164 -100.629273 76.412037
    Unten links KachelX 28897 KachelY + 1 21156 -1.75636007 1.33363038 -100.632019 76.411392
    Unten rechts KachelX + 1 28898 KachelY + 1 21156 -1.75631213 1.33363038 -100.629273 76.411392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33364164-1.33363038) × R
    1.12599999999574e-05 × 6371000     		dl = 71.7374599997287m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33364164-1.33363038) × R
    1.12599999999574e-05 × 6371000     		dr = 71.7374599997287m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75636007--1.75631213) × cos(1.33364164) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.234937907193142 × 6371000     		do = 71.7560841584696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75636007--1.75631213) × cos(1.33363038) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.234948852015132 × 6371000     		du = 71.7594269888252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33364164)-sin(1.33363038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.234937907193142-0.234948852015132)×R²
    abs(-1.75631213--1.75636007)×1.09448219903496e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.09448219903496e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.09448219903496e-05×40589641000000     		ar = 5147.71912011115m²