Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28895 / 28789
↖ ↑ ↗
← N 70.505658°
W100.637512°		 ← 101.92 m → N 70.505658°
W100.634766°		 →
↑
101.94 m
↓
↑
101.94 m
↓
N 70.504742°
W100.637512°		 ← 101.93 m →
10 390 m²		 N 70.504742°
W100.634766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28895 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220455169677734 y=0.219646453857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220455169677734 × 217)
    floor (0.220455169677734 × 131072)
    floor (28895.5)     		tx = 28895
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219646453857422 × 217)
    floor (0.219646453857422 × 131072)
    floor (28789.5)     		ty = 28789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28895 / 28789 ti = "17/28895/28789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28895/28789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28895 ÷ 217
    28895 ÷ 131072     		x = 0.220451354980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28789 ÷ 217
    28789 ÷ 131072     		y = 0.219642639160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220451354980469 × 2 - 1) × π
    -0.559097290039062 × 3.1415926535     		Λ = -1.75645594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219642639160156 × 2 - 1) × π
    0.560714721679688 × 3.1415926535     		Φ = 1.7615372503382
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75645594} λ = -1.75645594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7615372503382))-π/2
    2×atan(5.82137943707104)-π/2
    2×1.40067610306336-π/2
    2.80135220612673-1.57079632675     		φ = 1.23055588
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75645594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.637512°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23055588 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.505658°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28895 KachelY 28789 -1.75645594 1.23055588 -100.637512 70.505658
    Oben rechts KachelX + 1 28896 KachelY 28789 -1.75640800 1.23055588 -100.634766 70.505658
    Unten links KachelX 28895 KachelY + 1 28790 -1.75645594 1.23053988 -100.637512 70.504742
    Unten rechts KachelX + 1 28896 KachelY + 1 28790 -1.75640800 1.23053988 -100.634766 70.504742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23055588-1.23053988) × R
    1.6000000000016e-05 × 6371000     		dl = 101.936000000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23055588-1.23053988) × R
    1.6000000000016e-05 × 6371000     		dr = 101.936000000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75645594--1.75640800) × cos(1.23055588) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.333713764836109 × 6371000     		do = 101.924773573188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75645594--1.75640800) × cos(1.23053988) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.333728847584631 × 6371000     		du = 101.929380232816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23055588)-sin(1.23053988))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333713764836109-0.333728847584631)×R²
    abs(-1.75640800--1.75645594)×1.50827485219662e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50827485219662e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50827485219662e-05×40589641000000     		ar = 10390.038511308m²