Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28894 / 42975
↖ ↑ ↗
← S 48.803246°
W 21.280518°		 ← 402.34 m → S 48.803246°
W 21.275024°		 →
↑
402.26 m
↓
↑
402.26 m
↓
S 48.806863°
W 21.280518°		 ← 402.31 m →
161 840 m²		 S 48.806863°
W 21.275024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28894 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42975 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440895080566406 y=0.655754089355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440895080566406 × 216)
    floor (0.440895080566406 × 65536)
    floor (28894.5)     		tx = 28894
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655754089355469 × 216)
    floor (0.655754089355469 × 65536)
    floor (42975.5)     		ty = 42975
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28894 / 42975 ti = "16/28894/42975"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28894/42975.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28894 ÷ 216
    28894 ÷ 65536     		x = 0.440887451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42975 ÷ 216
    42975 ÷ 65536     		y = 0.655746459960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440887451171875 × 2 - 1) × π
    -0.11822509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37141510
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655746459960938 × 2 - 1) × π
    -0.311492919921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.978583868843826
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37141510} λ = -0.37141510}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.978583868843826))-π/2
    2×atan(0.375842965099038)-π/2
    2×0.359509503271551-π/2
    0.719019006543101-1.57079632675     		φ = -0.85177732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37141510} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.280518°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85177732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.803246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28894 KachelY 42975 -0.37141510 -0.85177732 -21.280518 -48.803246
    Oben rechts KachelX + 1 28895 KachelY 42975 -0.37131922 -0.85177732 -21.275024 -48.803246
    Unten links KachelX 28894 KachelY + 1 42976 -0.37141510 -0.85184046 -21.280518 -48.806863
    Unten rechts KachelX + 1 28895 KachelY + 1 42976 -0.37131922 -0.85184046 -21.275024 -48.806863
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85177732--0.85184046) × R
    6.31400000000726e-05 × 6371000     		dl = 402.264940000462m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85177732--0.85184046) × R
    6.31400000000726e-05 × 6371000     		dr = 402.264940000462m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37141510--0.37131922) × cos(-0.85177732) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.658646838499294 × 6371000     		do = 402.335396094584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37141510--0.37131922) × cos(-0.85184046) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.658599327353307 × 6371000     		du = 402.306373840741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85177732)-sin(-0.85184046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658646838499294-0.658599327353307)×R²
    abs(-0.37131922--0.37141510)×4.75111459873334e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.75111459873334e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.75111459873334e-05×40589641000000     		ar = 161839.586706167m²