Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28893 / 43700
↖ ↑ ↗
← S 51.358061°
W 21.286011°		 ← 381.41 m → S 51.358061°
W 21.280518°		 →
↑
381.43 m
↓
↑
381.43 m
↓
S 51.361492°
W 21.286011°		 ← 381.38 m →
145 475 m²		 S 51.361492°
W 21.280518°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28893 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440879821777344 y=0.666816711425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440879821777344 × 216)
    floor (0.440879821777344 × 65536)
    floor (28893.5)     		tx = 28893
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666816711425781 × 216)
    floor (0.666816711425781 × 65536)
    floor (43700.5)     		ty = 43700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28893 / 43700 ti = "16/28893/43700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28893/43700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28893 ÷ 216
    28893 ÷ 65536     		x = 0.440872192382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43700 ÷ 216
    43700 ÷ 65536     		y = 0.66680908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440872192382812 × 2 - 1) × π
    -0.118255615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37151097
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66680908203125 × 2 - 1) × π
    -0.3336181640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.04809237329291
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37151097} λ = -0.37151097}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04809237329291))-π/2
    2×atan(0.350605936830919)-π/2
    2×0.337214527459721-π/2
    0.674429054919443-1.57079632675     		φ = -0.89636727
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37151097} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.286011°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89636727 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.358061°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28893 KachelY 43700 -0.37151097 -0.89636727 -21.286011 -51.358061
    Oben rechts KachelX + 1 28894 KachelY 43700 -0.37141510 -0.89636727 -21.280518 -51.358061
    Unten links KachelX 28893 KachelY + 1 43701 -0.37151097 -0.89642714 -21.286011 -51.361492
    Unten rechts KachelX + 1 28894 KachelY + 1 43701 -0.37141510 -0.89642714 -21.280518 -51.361492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89636727--0.89642714) × R
    5.98699999999619e-05 × 6371000     		dl = 381.431769999757m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89636727--0.89642714) × R
    5.98699999999619e-05 × 6371000     		dr = 381.431769999757m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37151097--0.37141510) × cos(-0.89636727) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.624451475572185 × 6371000     		do = 381.407324237936m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37151097--0.37141510) × cos(-0.89642714) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.624404712175049 × 6371000     		du = 381.378761726882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89636727)-sin(-0.89642714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624451475572185-0.624404712175049)×R²
    abs(-0.37141510--0.37151097)×4.67633971352743e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.67633971352743e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.67633971352743e-05×40589641000000     		ar = 145475.423493826m²