Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 28893 / 28788
↖ ↑ ↗
← N 70.506575°
W100.643005°		 ← 101.90 m → N 70.506575°
W100.640259°		 →
↑
101.94 m
↓
↑
101.94 m
↓
N 70.505658°
W100.643005°		 ← 101.90 m →
10 387 m²		 N 70.505658°
W100.640259°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28893 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220439910888672 y=0.219638824462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220439910888672 × 217)
    floor (0.220439910888672 × 131072)
    floor (28893.5)     		tx = 28893
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219638824462891 × 217)
    floor (0.219638824462891 × 131072)
    floor (28788.5)     		ty = 28788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28893 / 28788 ti = "17/28893/28788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28893/28788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28893 ÷ 217
    28893 ÷ 131072     		x = 0.220436096191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28788 ÷ 217
    28788 ÷ 131072     		y = 0.219635009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220436096191406 × 2 - 1) × π
    -0.559127807617188 × 3.1415926535     		Λ = -1.75655181
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219635009765625 × 2 - 1) × π
    0.56072998046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.76158518723782
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75655181} λ = -1.75655181}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76158518723782))-π/2
    2×atan(5.82165850264148)-π/2
    2×1.40068410148428-π/2
    2.80136820296856-1.57079632675     		φ = 1.23057188
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75655181} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.643005°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23057188 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.506575°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28893 KachelY 28788 -1.75655181 1.23057188 -100.643005 70.506575
    Oben rechts KachelX + 1 28894 KachelY 28788 -1.75650388 1.23057188 -100.640259 70.506575
    Unten links KachelX 28893 KachelY + 1 28789 -1.75655181 1.23055588 -100.643005 70.505658
    Unten rechts KachelX + 1 28894 KachelY + 1 28789 -1.75650388 1.23055588 -100.640259 70.505658
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23057188-1.23055588) × R
    1.6000000000016e-05 × 6371000     		dl = 101.936000000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23057188-1.23055588) × R
    1.6000000000016e-05 × 6371000     		dr = 101.936000000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75655181--1.75650388) × cos(1.23057188) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.333698682002156 × 6371000     		do = 101.898906944565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75655181--1.75650388) × cos(1.23055588) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.333713764836109 × 6371000     		du = 101.903512669359m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23057188)-sin(1.23055588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333698682002156-0.333713764836109)×R²
    abs(-1.75650388--1.75655181)×1.50828339527398e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.50828339527398e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.50828339527398e-05×40589641000000     		ar = 10387.40172307m²