Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28892 / 22366
↖ ↑ ↗
← N 49.503810°
W 21.291504°		 ← 396.69 m → N 49.503810°
W 21.286011°		 →
↑
396.66 m
↓
↑
396.66 m
↓
N 49.500242°
W 21.291504°		 ← 396.71 m →
157 354 m²		 N 49.500242°
W 21.286011°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28892 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440864562988281 y=0.341285705566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440864562988281 × 216)
    floor (0.440864562988281 × 65536)
    floor (28892.5)     		tx = 28892
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341285705566406 × 216)
    floor (0.341285705566406 × 65536)
    floor (22366.5)     		ty = 22366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28892 / 22366 ti = "16/28892/22366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28892/22366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28892 ÷ 216
    28892 ÷ 65536     		x = 0.44085693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22366 ÷ 216
    22366 ÷ 65536     		y = 0.341278076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44085693359375 × 2 - 1) × π
    -0.1182861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37160685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341278076171875 × 2 - 1) × π
    0.31744384765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.997279259695648
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37160685} λ = -0.37160685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.997279259695648))-π/2
    2×atan(2.71089614135406)-π/2
    2×1.21740039777807-π/2
    2.43480079555613-1.57079632675     		φ = 0.86400447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37160685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.291504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86400447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.503810°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28892 KachelY 22366 -0.37160685 0.86400447 -21.291504 49.503810
    Oben rechts KachelX + 1 28893 KachelY 22366 -0.37151097 0.86400447 -21.286011 49.503810
    Unten links KachelX 28892 KachelY + 1 22367 -0.37160685 0.86394221 -21.291504 49.500242
    Unten rechts KachelX + 1 28893 KachelY + 1 22367 -0.37151097 0.86394221 -21.286011 49.500242
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86400447-0.86394221) × R
    6.22599999999807e-05 × 6371000     		dl = 396.658459999877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86400447-0.86394221) × R
    6.22599999999807e-05 × 6371000     		dr = 396.658459999877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37160685--0.37151097) × cos(0.86400447) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.649397487302138 × 6371000     		do = 396.685416226762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37160685--0.37151097) × cos(0.86394221) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.649444831607298 × 6371000     		du = 396.714336565638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86400447)-sin(0.86394221))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649397487302138-0.649444831607298)×R²
    abs(-0.37151097--0.37160685)×4.73443051602906e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.73443051602906e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.73443051602906e-05×40589641000000     		ar = 157354.362104137m²