Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28891 / 28787
↖ ↑ ↗
← N 70.507491°
W100.648499°		 ← 101.92 m → N 70.507491°
W100.645752°		 →
↑
101.87 m
↓
↑
101.87 m
↓
N 70.506575°
W100.648499°		 ← 101.92 m →
10 383 m²		 N 70.506575°
W100.645752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28891 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28787 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220424652099609 y=0.219631195068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220424652099609 × 217)
    floor (0.220424652099609 × 131072)
    floor (28891.5)     		tx = 28891
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219631195068359 × 217)
    floor (0.219631195068359 × 131072)
    floor (28787.5)     		ty = 28787
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28891 / 28787 ti = "17/28891/28787"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28891/28787.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28891 ÷ 217
    28891 ÷ 131072     		x = 0.220420837402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28787 ÷ 217
    28787 ÷ 131072     		y = 0.219627380371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220420837402344 × 2 - 1) × π
    -0.559158325195312 × 3.1415926535     		Λ = -1.75664769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219627380371094 × 2 - 1) × π
    0.560745239257812 × 3.1415926535     		Φ = 1.76163312413744
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75664769} λ = -1.75664769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76163312413744))-π/2
    2×atan(5.82193758158978)-π/2
    2×1.40069209954376-π/2
    2.80138419908753-1.57079632675     		φ = 1.23058787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75664769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.648499°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23058787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.507491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28891 KachelY 28787 -1.75664769 1.23058787 -100.648499 70.507491
    Oben rechts KachelX + 1 28892 KachelY 28787 -1.75659975 1.23058787 -100.645752 70.507491
    Unten links KachelX 28891 KachelY + 1 28788 -1.75664769 1.23057188 -100.648499 70.506575
    Unten rechts KachelX + 1 28892 KachelY + 1 28788 -1.75659975 1.23057188 -100.645752 70.506575
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23058787-1.23057188) × R
    1.59899999998547e-05 × 6371000     		dl = 101.872289999074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23058787-1.23057188) × R
    1.59899999998547e-05 × 6371000     		dr = 101.872289999074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75664769--1.75659975) × cos(1.23058787) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.333683608509628 × 6371000     		do = 101.915563055329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75664769--1.75659975) × cos(1.23057188) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.333698682002156 × 6371000     		du = 101.920166887938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23058787)-sin(1.23057188))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333683608509628-0.333698682002156)×R²
    abs(-1.75659975--1.75664769)×1.5073492528106e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.5073492528106e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.5073492528106e-05×40589641000000     		ar = 10382.6062966895m²