Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28891 / 22365
↖ ↑ ↗
← N 49.507377°
W 21.296997°		 ← 396.62 m → N 49.507377°
W 21.291504°		 →
↑
396.66 m
↓
↑
396.66 m
↓
N 49.503810°
W 21.296997°		 ← 396.64 m →
157 326 m²		 N 49.503810°
W 21.291504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28891 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22365 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440849304199219 y=0.341270446777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440849304199219 × 216)
    floor (0.440849304199219 × 65536)
    floor (28891.5)     		tx = 28891
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341270446777344 × 216)
    floor (0.341270446777344 × 65536)
    floor (22365.5)     		ty = 22365
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28891 / 22365 ti = "16/28891/22365"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28891/22365.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28891 ÷ 216
    28891 ÷ 65536     		x = 0.440841674804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22365 ÷ 216
    22365 ÷ 65536     		y = 0.341262817382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440841674804688 × 2 - 1) × π
    -0.118316650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37170272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341262817382812 × 2 - 1) × π
    0.317474365234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.997375133494888
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37170272} λ = -0.37170272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.997375133494888))-π/2
    2×atan(2.71115605772586)-π/2
    2×1.21743152674548-π/2
    2.43486305349095-1.57079632675     		φ = 0.86406673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37170272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.296997°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86406673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.507377°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28891 KachelY 22365 -0.37170272 0.86406673 -21.296997 49.507377
    Oben rechts KachelX + 1 28892 KachelY 22365 -0.37160685 0.86406673 -21.291504 49.507377
    Unten links KachelX 28891 KachelY + 1 22366 -0.37170272 0.86400447 -21.296997 49.503810
    Unten rechts KachelX + 1 28892 KachelY + 1 22366 -0.37160685 0.86400447 -21.291504 49.503810
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86406673-0.86400447) × R
    6.22599999999807e-05 × 6371000     		dl = 396.658459999877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86406673-0.86400447) × R
    6.22599999999807e-05 × 6371000     		dr = 396.658459999877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37170272--0.37160685) × cos(0.86406673) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.649350140479713 × 6371000     		do = 396.615124252782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37170272--0.37160685) × cos(0.86400447) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.649397487302138 × 6371000     		du = 396.644043112867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86406673)-sin(0.86400447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649350140479713-0.649397487302138)×R²
    abs(-0.37160685--0.37170272)×4.73468224247986e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73468224247986e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73468224247986e-05×40589641000000     		ar = 157326.479905002m²