Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28887 / 28791
↖ ↑ ↗
← N 70.503825°
W100.659485°		 ← 101.91 m → N 70.503825°
W100.656738°		 →
↑
101.94 m
↓
↑
101.94 m
↓
N 70.502908°
W100.659485°		 ← 101.92 m →
10 389 m²		 N 70.502908°
W100.656738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28791 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220394134521484 y=0.219661712646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220394134521484 × 217)
    floor (0.220394134521484 × 131072)
    floor (28887.5)     		tx = 28887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219661712646484 × 217)
    floor (0.219661712646484 × 131072)
    floor (28791.5)     		ty = 28791
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28887 / 28791 ti = "17/28887/28791"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28887/28791.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28887 ÷ 217
    28887 ÷ 131072     		x = 0.220390319824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28791 ÷ 217
    28791 ÷ 131072     		y = 0.219657897949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220390319824219 × 2 - 1) × π
    -0.559219360351562 × 3.1415926535     		Λ = -1.75683943
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219657897949219 × 2 - 1) × π
    0.560684204101562 × 3.1415926535     		Φ = 1.76144137653896
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75683943} λ = -1.75683943}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76144137653896))-π/2
    2×atan(5.82082134606117)-π/2
    2×1.40066010513717-π/2
    2.80132021027434-1.57079632675     		φ = 1.23052388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75683943} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.659485°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23052388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.503825°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28887 KachelY 28791 -1.75683943 1.23052388 -100.659485 70.503825
    Oben rechts KachelX + 1 28888 KachelY 28791 -1.75679150 1.23052388 -100.656738 70.503825
    Unten links KachelX 28887 KachelY + 1 28792 -1.75683943 1.23050788 -100.659485 70.502908
    Unten rechts KachelX + 1 28888 KachelY + 1 28792 -1.75679150 1.23050788 -100.656738 70.502908
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23052388-1.23050788) × R
    1.6000000000016e-05 × 6371000     		dl = 101.936000000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23052388-1.23050788) × R
    1.6000000000016e-05 × 6371000     		dr = 101.936000000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75683943--1.75679150) × cos(1.23052388) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.333743930247718 × 6371000     		do = 101.912724040684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75683943--1.75679150) × cos(1.23050788) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.333759012825367 × 6371000     		du = 101.917329687212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23052388)-sin(1.23050788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333743930247718-0.333759012825367)×R²
    abs(-1.75679150--1.75683943)×1.50825776489838e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.50825776489838e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.50825776489838e-05×40589641000000     		ar = 10388.8101786016m²