Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28887 / 22361
↖ ↑ ↗
← N 49.521642°
W 21.318969°		 ← 396.50 m → N 49.521642°
W 21.313477°		 →
↑
396.53 m
↓
↑
396.53 m
↓
N 49.518076°
W 21.318969°		 ← 396.53 m →
157 230 m²		 N 49.518076°
W 21.313477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22361 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440788269042969 y=0.341209411621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440788269042969 × 216)
    floor (0.440788269042969 × 65536)
    floor (28887.5)     		tx = 28887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341209411621094 × 216)
    floor (0.341209411621094 × 65536)
    floor (22361.5)     		ty = 22361
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28887 / 22361 ti = "16/28887/22361"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28887/22361.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28887 ÷ 216
    28887 ÷ 65536     		x = 0.440780639648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22361 ÷ 216
    22361 ÷ 65536     		y = 0.341201782226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440780639648438 × 2 - 1) × π
    -0.118438720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37208621
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341201782226562 × 2 - 1) × π
    0.317596435546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.997758628691849
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37208621} λ = -0.37208621}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.997758628691849))-π/2
    2×atan(2.71219597244062)-π/2
    2×1.21755601991995-π/2
    2.4351120398399-1.57079632675     		φ = 0.86431571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37208621} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.318969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86431571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.521642°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28887 KachelY 22361 -0.37208621 0.86431571 -21.318969 49.521642
    Oben rechts KachelX + 1 28888 KachelY 22361 -0.37199034 0.86431571 -21.313477 49.521642
    Unten links KachelX 28887 KachelY + 1 22362 -0.37208621 0.86425347 -21.318969 49.518076
    Unten rechts KachelX + 1 28888 KachelY + 1 22362 -0.37199034 0.86425347 -21.313477 49.518076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86431571-0.86425347) × R
    6.22399999999912e-05 × 6371000     		dl = 396.531039999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86431571-0.86425347) × R
    6.22399999999912e-05 × 6371000     		dr = 396.531039999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37208621--0.37199034) × cos(0.86431571) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.649160773660116 × 6371000     		do = 396.499461315328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37208621--0.37199034) × cos(0.86425347) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.649208115335121 × 6371000     		du = 396.528377031433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86431571)-sin(0.86425347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649160773660116-0.649208115335121)×R²
    abs(-0.37199034--0.37208621)×4.7341675005641e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7341675005641e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7341675005641e-05×40589641000000     		ar = 157230.076794774m²