Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28885 / 40755
↖ ↑ ↗
← S 40.124291°
W 21.329956°		 ← 467.04 m → S 40.124291°
W 21.324463°		 →
↑
466.99 m
↓
↑
466.99 m
↓
S 40.128491°
W 21.329956°		 ← 467.01 m →
218 097 m²		 S 40.128491°
W 21.324463°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28885 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40755 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440757751464844 y=0.621879577636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440757751464844 × 216)
    floor (0.440757751464844 × 65536)
    floor (28885.5)     		tx = 28885
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621879577636719 × 216)
    floor (0.621879577636719 × 65536)
    floor (40755.5)     		ty = 40755
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28885 / 40755 ti = "16/28885/40755"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28885/40755.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28885 ÷ 216
    28885 ÷ 65536     		x = 0.440750122070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40755 ÷ 216
    40755 ÷ 65536     		y = 0.621871948242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440750122070312 × 2 - 1) × π
    -0.118499755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37227796
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621871948242188 × 2 - 1) × π
    -0.243743896484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.765744034530777
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37227796} λ = -0.37227796}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.765744034530777))-π/2
    2×atan(0.464987835230885)-π/2
    2×0.435247670740362-π/2
    0.870495341480723-1.57079632675     		φ = -0.70030099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37227796} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.329956°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70030099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.124291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28885 KachelY 40755 -0.37227796 -0.70030099 -21.329956 -40.124291
    Oben rechts KachelX + 1 28886 KachelY 40755 -0.37218209 -0.70030099 -21.324463 -40.124291
    Unten links KachelX 28885 KachelY + 1 40756 -0.37227796 -0.70037429 -21.329956 -40.128491
    Unten rechts KachelX + 1 28886 KachelY + 1 40756 -0.37218209 -0.70037429 -21.324463 -40.128491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70030099--0.70037429) × R
    7.32999999999429e-05 × 6371000     		dl = 466.994299999636m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70030099--0.70037429) × R
    7.32999999999429e-05 × 6371000     		dr = 466.994299999636m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37227796--0.37218209) × cos(-0.70030099) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.764648249560303 × 6371000     		do = 467.037799183331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37227796--0.37218209) × cos(-0.70037429) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.764601009477443 × 6371000     		du = 467.008945518466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70030099)-sin(-0.70037429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.764648249560303-0.764601009477443)×R²
    abs(-0.37218209--0.37227796)×4.72400828603892e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72400828603892e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72400828603892e-05×40589641000000     		ar = 218097.252952045m²