Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28884 / 42236
↖ ↑ ↗
← S 46.057985°
W 21.335449°		 ← 423.89 m → S 46.057985°
W 21.329956°		 →
↑
423.86 m
↓
↑
423.86 m
↓
S 46.061797°
W 21.335449°		 ← 423.86 m →
179 664 m²		 S 46.061797°
W 21.329956°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28884 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440742492675781 y=0.644477844238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440742492675781 × 216)
    floor (0.440742492675781 × 65536)
    floor (28884.5)     		tx = 28884
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644477844238281 × 216)
    floor (0.644477844238281 × 65536)
    floor (42236.5)     		ty = 42236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28884 / 42236 ti = "16/28884/42236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28884/42236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28884 ÷ 216
    28884 ÷ 65536     		x = 0.44073486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42236 ÷ 216
    42236 ÷ 65536     		y = 0.64447021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44073486328125 × 2 - 1) × π
    -0.1185302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37237384
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64447021484375 × 2 - 1) × π
    -0.2889404296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.907733131205383
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37237384} λ = -0.37237384}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.907733131205383))-π/2
    2×atan(0.403437728642536)-π/2
    2×0.383466418728148-π/2
    0.766932837456296-1.57079632675     		φ = -0.80386349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37237384} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.335449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80386349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.057985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28884 KachelY 42236 -0.37237384 -0.80386349 -21.335449 -46.057985
    Oben rechts KachelX + 1 28885 KachelY 42236 -0.37227796 -0.80386349 -21.329956 -46.057985
    Unten links KachelX 28884 KachelY + 1 42237 -0.37237384 -0.80393002 -21.335449 -46.061797
    Unten rechts KachelX + 1 28885 KachelY + 1 42237 -0.37227796 -0.80393002 -21.329956 -46.061797
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80386349--0.80393002) × R
    6.65300000000091e-05 × 6371000     		dl = 423.862630000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80386349--0.80393002) × R
    6.65300000000091e-05 × 6371000     		dr = 423.862630000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37237384--0.37227796) × cos(-0.80386349) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.693930018449317 × 6371000     		do = 423.88817878616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37237384--0.37227796) × cos(-0.80393002) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.693882112489418 × 6371000     		du = 423.858915359655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80386349)-sin(-0.80393002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.693930018449317-0.693882112489418)×R²
    abs(-0.37227796--0.37237384)×4.79059598997855e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.79059598997855e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.79059598997855e-05×40589641000000     		ar = 179664.156516012m²