Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28884 / 37074
↖ ↑ ↗
← N 61.330905°
W100.667724°		 ← 146.50 m → N 61.330905°
W100.664978°		 →
↑
146.53 m
↓
↑
146.53 m
↓
N 61.329587°
W100.667724°		 ← 146.50 m →
21 467 m²		 N 61.329587°
W100.664978°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28884 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220371246337891 y=0.282855987548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220371246337891 × 217)
    floor (0.220371246337891 × 131072)
    floor (28884.5)     		tx = 28884
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.282855987548828 × 217)
    floor (0.282855987548828 × 131072)
    floor (37074.5)     		ty = 37074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28884 / 37074 ti = "17/28884/37074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28884/37074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28884 ÷ 217
    28884 ÷ 131072     		x = 0.220367431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37074 ÷ 217
    37074 ÷ 131072     		y = 0.282852172851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220367431640625 × 2 - 1) × π
    -0.55926513671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.75698324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.282852172851562 × 2 - 1) × π
    0.434295654296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.36438003698604
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75698324} λ = -1.75698324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.36438003698604))-π/2
    2×atan(3.91329620088426)-π/2
    2×1.32061127121371-π/2
    2.64122254242743-1.57079632675     		φ = 1.07042622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75698324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.667724°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07042622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.330905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28884 KachelY 37074 -1.75698324 1.07042622 -100.667724 61.330905
    Oben rechts KachelX + 1 28885 KachelY 37074 -1.75693531 1.07042622 -100.664978 61.330905
    Unten links KachelX 28884 KachelY + 1 37075 -1.75698324 1.07040322 -100.667724 61.329587
    Unten rechts KachelX + 1 28885 KachelY + 1 37075 -1.75693531 1.07040322 -100.664978 61.329587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07042622-1.07040322) × R
    2.30000000001063e-05 × 6371000     		dl = 146.533000000677m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07042622-1.07040322) × R
    2.30000000001063e-05 × 6371000     		dr = 146.533000000677m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75698324--1.75693531) × cos(1.07042622) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.479750305030402 × 6371000     		do = 146.497527037292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75698324--1.75693531) × cos(1.07040322) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.479770485219958 × 6371000     		du = 146.503689300941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07042622)-sin(1.07040322))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.479750305030402-0.479770485219958)×R²
    abs(-1.75693531--1.75698324)×2.01801895565734e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.01801895565734e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.01801895565734e-05×40589641000000     		ar = 21467.1736177539m²