Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28882 / 28790
↖ ↑ ↗
← N 70.504742°
W100.673218°		 ← 101.93 m → N 70.504742°
W100.670471°		 →
↑
101.94 m
↓
↑
101.94 m
↓
N 70.503825°
W100.673218°		 ← 101.93 m →
10 391 m²		 N 70.503825°
W100.670471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28882 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220355987548828 y=0.219654083251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220355987548828 × 217)
    floor (0.220355987548828 × 131072)
    floor (28882.5)     		tx = 28882
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219654083251953 × 217)
    floor (0.219654083251953 × 131072)
    floor (28790.5)     		ty = 28790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28882 / 28790 ti = "17/28882/28790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28882/28790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28882 ÷ 217
    28882 ÷ 131072     		x = 0.220352172851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28790 ÷ 217
    28790 ÷ 131072     		y = 0.219650268554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220352172851562 × 2 - 1) × π
    -0.559295654296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.75707912
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219650268554688 × 2 - 1) × π
    0.560699462890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.76148931343858
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75707912} λ = -1.75707912}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76148931343858))-π/2
    2×atan(5.82110038487782)-π/2
    2×1.400668104281-π/2
    2.801336208562-1.57079632675     		φ = 1.23053988
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75707912} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.673218°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23053988 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.504742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28882 KachelY 28790 -1.75707912 1.23053988 -100.673218 70.504742
    Oben rechts KachelX + 1 28883 KachelY 28790 -1.75703118 1.23053988 -100.670471 70.504742
    Unten links KachelX 28882 KachelY + 1 28791 -1.75707912 1.23052388 -100.673218 70.503825
    Unten rechts KachelX + 1 28883 KachelY + 1 28791 -1.75703118 1.23052388 -100.670471 70.503825
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23053988-1.23052388) × R
    1.6000000000016e-05 × 6371000     		dl = 101.936000000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23053988-1.23052388) × R
    1.6000000000016e-05 × 6371000     		dr = 101.936000000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75707912--1.75703118) × cos(1.23053988) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.333728847584631 × 6371000     		do = 101.929380232816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75707912--1.75703118) × cos(1.23052388) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.333743930247718 × 6371000     		du = 101.933986866351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23053988)-sin(1.23052388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333728847584631-0.333743930247718)×R²
    abs(-1.75703118--1.75707912)×1.50826630874179e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50826630874179e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50826630874179e-05×40589641000000     		ar = 10390.5080946535m²