Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28881 / 37071
↖ ↑ ↗
← N 61.334857°
W100.675965°		 ← 146.51 m → N 61.334857°
W100.673218°		 →
↑
146.47 m
↓
↑
146.47 m
↓
N 61.333540°
W100.675965°		 ← 146.52 m →
21 460 m²		 N 61.333540°
W100.673218°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37071 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220348358154297 y=0.282833099365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220348358154297 × 217)
    floor (0.220348358154297 × 131072)
    floor (28881.5)     		tx = 28881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.282833099365234 × 217)
    floor (0.282833099365234 × 131072)
    floor (37071.5)     		ty = 37071
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28881 / 37071 ti = "17/28881/37071"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28881/37071.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28881 ÷ 217
    28881 ÷ 131072     		x = 0.220344543457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37071 ÷ 217
    37071 ÷ 131072     		y = 0.282829284667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220344543457031 × 2 - 1) × π
    -0.559310913085938 × 3.1415926535     		Λ = -1.75712706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.282829284667969 × 2 - 1) × π
    0.434341430664062 × 3.1415926535     		Φ = 1.3645238476849
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75712706} λ = -1.75712706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.3645238476849))-π/2
    2×atan(3.91385901521415)-π/2
    2×1.32064576565098-π/2
    2.64129153130196-1.57079632675     		φ = 1.07049520
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75712706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.675965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07049520 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.334857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28881 KachelY 37071 -1.75712706 1.07049520 -100.675965 61.334857
    Oben rechts KachelX + 1 28882 KachelY 37071 -1.75707912 1.07049520 -100.673218 61.334857
    Unten links KachelX 28881 KachelY + 1 37072 -1.75712706 1.07047221 -100.675965 61.333540
    Unten rechts KachelX + 1 28882 KachelY + 1 37072 -1.75707912 1.07047221 -100.673218 61.333540
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07049520-1.07047221) × R
    2.2990000000167e-05 × 6371000     		dl = 146.469290001064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07049520-1.07047221) × R
    2.2990000000167e-05 × 6371000     		dr = 146.469290001064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75712706--1.75707912) × cos(1.07049520) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.479689780487811 × 6371000     		do = 146.509606175831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75712706--1.75707912) × cos(1.07047221) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.479709952664207 × 6371000     		du = 146.515767277734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07049520)-sin(1.07047221))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.479689780487811-0.479709952664207)×R²
    abs(-1.75707912--1.75712706)×2.0172176396438e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.0172176396438e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.0172176396438e-05×40589641000000     		ar = 21459.6092019841m²