Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28878 / 22350
↖ ↑ ↗
← N 49.560852°
W 21.368408°		 ← 396.18 m → N 49.560852°
W 21.362915°		 →
↑
396.21 m
↓
↑
396.21 m
↓
N 49.557289°
W 21.368408°		 ← 396.21 m →
156 978 m²		 N 49.557289°
W 21.362915°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28878 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440650939941406 y=0.341041564941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440650939941406 × 216)
    floor (0.440650939941406 × 65536)
    floor (28878.5)     		tx = 28878
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341041564941406 × 216)
    floor (0.341041564941406 × 65536)
    floor (22350.5)     		ty = 22350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28878 / 22350 ti = "16/28878/22350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28878/22350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28878 ÷ 216
    28878 ÷ 65536     		x = 0.440643310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22350 ÷ 216
    22350 ÷ 65536     		y = 0.341033935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440643310546875 × 2 - 1) × π
    -0.11871337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37294908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341033935546875 × 2 - 1) × π
    0.31793212890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.99881324048349
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37294908} λ = -0.37294908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.99881324048349))-π/2
    2×atan(2.7150577950851)-π/2
    2×1.21789818893436-π/2
    2.43579637786872-1.57079632675     		φ = 0.86500005
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37294908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.368408°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86500005 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.560852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28878 KachelY 22350 -0.37294908 0.86500005 -21.368408 49.560852
    Oben rechts KachelX + 1 28879 KachelY 22350 -0.37285321 0.86500005 -21.362915 49.560852
    Unten links KachelX 28878 KachelY + 1 22351 -0.37294908 0.86493786 -21.368408 49.557289
    Unten rechts KachelX + 1 28879 KachelY + 1 22351 -0.37285321 0.86493786 -21.362915 49.557289
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86500005-0.86493786) × R
    6.2190000000073e-05 × 6371000     		dl = 396.212490000465m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86500005-0.86493786) × R
    6.2190000000073e-05 × 6371000     		dr = 396.212490000465m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37294908--0.37285321) × cos(0.86500005) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.648640077631817 × 6371000     		do = 396.181426549356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37294908--0.37285321) × cos(0.86493786) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.64868740889391 × 6371000     		du = 396.210335905381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86500005)-sin(0.86493786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648640077631817-0.64868740889391)×R²
    abs(-0.37285321--0.37294908)×4.73312620927757e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73312620927757e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73312620927757e-05×40589641000000     		ar = 156977.756679557m²