Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28876 / 37036
↖ ↑ ↗
← N 61.380936°
W100.689697°		 ← 146.29 m → N 61.380936°
W100.686951°		 →
↑
146.28 m
↓
↑
146.28 m
↓
N 61.379620°
W100.689697°		 ← 146.30 m →
21 400 m²		 N 61.379620°
W100.686951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220310211181641 y=0.282566070556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220310211181641 × 217)
    floor (0.220310211181641 × 131072)
    floor (28876.5)     		tx = 28876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.282566070556641 × 217)
    floor (0.282566070556641 × 131072)
    floor (37036.5)     		ty = 37036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28876 / 37036 ti = "17/28876/37036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28876/37036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28876 ÷ 217
    28876 ÷ 131072     		x = 0.220306396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37036 ÷ 217
    37036 ÷ 131072     		y = 0.282562255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220306396484375 × 2 - 1) × π
    -0.55938720703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.75736674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.282562255859375 × 2 - 1) × π
    0.43487548828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.3662016391716
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75736674} λ = -1.75736674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.3662016391716))-π/2
    2×atan(3.92043116635794)-π/2
    2×1.32104787925919-π/2
    2.64209575851838-1.57079632675     		φ = 1.07129943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75736674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.689697°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07129943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.380936°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28876 KachelY 37036 -1.75736674 1.07129943 -100.689697 61.380936
    Oben rechts KachelX + 1 28877 KachelY 37036 -1.75731880 1.07129943 -100.686951 61.380936
    Unten links KachelX 28876 KachelY + 1 37037 -1.75736674 1.07127647 -100.689697 61.379620
    Unten rechts KachelX + 1 28877 KachelY + 1 37037 -1.75731880 1.07127647 -100.686951 61.379620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07129943-1.07127647) × R
    2.29600000001273e-05 × 6371000     		dl = 146.278160000811m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07129943-1.07127647) × R
    2.29600000001273e-05 × 6371000     		dr = 146.278160000811m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75736674--1.75731880) × cos(1.07129943) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.478983963348821 × 6371000     		do = 146.294031453851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75736674--1.75731880) × cos(1.07127647) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.479004118053603 × 6371000     		du = 146.300187219473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07129943)-sin(1.07127647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.478983963348821-0.479004118053603)×R²
    abs(-1.75731880--1.75736674)×2.01547047821715e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.01547047821715e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.01547047821715e-05×40589641000000     		ar = 21400.0719681189m²