Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28875 / 42419
↖ ↑ ↗
← S 46.751153°
W 21.384888°		 ← 418.49 m → S 46.751153°
W 21.379395°		 →
↑
418.51 m
↓
↑
418.51 m
↓
S 46.754917°
W 21.384888°		 ← 418.46 m →
175 138 m²		 S 46.754917°
W 21.379395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28875 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42419 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440605163574219 y=0.647270202636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440605163574219 × 216)
    floor (0.440605163574219 × 65536)
    floor (28875.5)     		tx = 28875
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647270202636719 × 216)
    floor (0.647270202636719 × 65536)
    floor (42419.5)     		ty = 42419
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28875 / 42419 ti = "16/28875/42419"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28875/42419.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28875 ÷ 216
    28875 ÷ 65536     		x = 0.440597534179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42419 ÷ 216
    42419 ÷ 65536     		y = 0.647262573242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440597534179688 × 2 - 1) × π
    -0.118804931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37323670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647262573242188 × 2 - 1) × π
    -0.294525146484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.925278036466324
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37323670} λ = -0.37323670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.925278036466324))-π/2
    2×atan(0.396421184205814)-π/2
    2×0.377417388854325-π/2
    0.75483477770865-1.57079632675     		φ = -0.81596155
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37323670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.384888°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81596155 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.751153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28875 KachelY 42419 -0.37323670 -0.81596155 -21.384888 -46.751153
    Oben rechts KachelX + 1 28876 KachelY 42419 -0.37314083 -0.81596155 -21.379395 -46.751153
    Unten links KachelX 28875 KachelY + 1 42420 -0.37323670 -0.81602724 -21.384888 -46.754917
    Unten rechts KachelX + 1 28876 KachelY + 1 42420 -0.37314083 -0.81602724 -21.379395 -46.754917
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81596155--0.81602724) × R
    6.56900000000071e-05 × 6371000     		dl = 418.510990000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81596155--0.81602724) × R
    6.56900000000071e-05 × 6371000     		dr = 418.510990000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37323670--0.37314083) × cos(-0.81596155) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.685168331945705 × 6371000     		do = 418.492437543728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37323670--0.37314083) × cos(-0.81602724) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.68512048287262 × 6371000     		du = 418.463211915082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81596155)-sin(-0.81602724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.685168331945705-0.68512048287262)×R²
    abs(-0.37314083--0.37323670)×4.78490730843051e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78490730843051e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78490730843051e-05×40589641000000     		ar = 175137.568783417m²