Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28868 / 22212
↖ ↑ ↗
← N 50.050085°
W 21.423340°		 ← 392.24 m → N 50.050085°
W 21.417846°		 →
↑
392.20 m
↓
↑
392.20 m
↓
N 50.046558°
W 21.423340°		 ← 392.27 m →
153 841 m²		 N 50.046558°
W 21.417846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440498352050781 y=0.338935852050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440498352050781 × 216)
    floor (0.440498352050781 × 65536)
    floor (28868.5)     		tx = 28868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338935852050781 × 216)
    floor (0.338935852050781 × 65536)
    floor (22212.5)     		ty = 22212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28868 / 22212 ti = "16/28868/22212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28868/22212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28868 ÷ 216
    28868 ÷ 65536     		x = 0.44049072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22212 ÷ 216
    22212 ÷ 65536     		y = 0.33892822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44049072265625 × 2 - 1) × π
    -0.1190185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37390782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33892822265625 × 2 - 1) × π
    0.3221435546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.01204382477863
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37390782} λ = -0.37390782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01204382477863))-π/2
    2×atan(2.75121828080175)-π/2
    2×1.2221675485307-π/2
    2.44433509706139-1.57079632675     		φ = 0.87353877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37390782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.423340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87353877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.050085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28868 KachelY 22212 -0.37390782 0.87353877 -21.423340 50.050085
    Oben rechts KachelX + 1 28869 KachelY 22212 -0.37381194 0.87353877 -21.417846 50.050085
    Unten links KachelX 28868 KachelY + 1 22213 -0.37390782 0.87347721 -21.423340 50.046558
    Unten rechts KachelX + 1 28869 KachelY + 1 22213 -0.37381194 0.87347721 -21.417846 50.046558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87353877-0.87347721) × R
    6.1560000000016e-05 × 6371000     		dl = 392.198760000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87353877-0.87347721) × R
    6.1560000000016e-05 × 6371000     		dr = 392.198760000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37390782--0.37381194) × cos(0.87353877) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.642117731030057 × 6371000     		do = 392.238566333922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37390782--0.37381194) × cos(0.87347721) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.642164922081111 × 6371000     		du = 392.267393057301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87353877)-sin(0.87347721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642117731030057-0.642164922081111)×R²
    abs(-0.37381194--0.37390782)×4.71910510543294e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.71910510543294e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.71910510543294e-05×40589641000000     		ar = 153841.132291292m²