Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28867 / 42594
↖ ↑ ↗
← S 47.405785°
W 21.428833°		 ← 413.38 m → S 47.405785°
W 21.423340°		 →
↑
413.35 m
↓
↑
413.35 m
↓
S 47.409503°
W 21.428833°		 ← 413.35 m →
170 866 m²		 S 47.409503°
W 21.423340°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42594 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440483093261719 y=0.649940490722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440483093261719 × 216)
    floor (0.440483093261719 × 65536)
    floor (28867.5)     		tx = 28867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649940490722656 × 216)
    floor (0.649940490722656 × 65536)
    floor (42594.5)     		ty = 42594
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28867 / 42594 ti = "16/28867/42594"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28867/42594.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28867 ÷ 216
    28867 ÷ 65536     		x = 0.440475463867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42594 ÷ 216
    42594 ÷ 65536     		y = 0.649932861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440475463867188 × 2 - 1) × π
    -0.119049072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37400369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649932861328125 × 2 - 1) × π
    -0.29986572265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.942055951333344
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37400369} λ = -0.37400369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.942055951333344))-π/2
    2×atan(0.389825548553489)-π/2
    2×0.37170464450405-π/2
    0.743409289008101-1.57079632675     		φ = -0.82738704
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37400369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.428833°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82738704 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.405785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28867 KachelY 42594 -0.37400369 -0.82738704 -21.428833 -47.405785
    Oben rechts KachelX + 1 28868 KachelY 42594 -0.37390782 -0.82738704 -21.423340 -47.405785
    Unten links KachelX 28867 KachelY + 1 42595 -0.37400369 -0.82745192 -21.428833 -47.409503
    Unten rechts KachelX + 1 28868 KachelY + 1 42595 -0.37390782 -0.82745192 -21.423340 -47.409503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82738704--0.82745192) × R
    6.48800000000449e-05 × 6371000     		dl = 413.350480000286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82738704--0.82745192) × R
    6.48800000000449e-05 × 6371000     		dr = 413.350480000286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37400369--0.37390782) × cos(-0.82738704) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.676801639156542 × 6371000     		do = 413.38216391276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37400369--0.37390782) × cos(-0.82745192) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.676753875318967 × 6371000     		du = 413.352990344921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82738704)-sin(-0.82745192))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676801639156542-0.676753875318967)×R²
    abs(-0.37390782--0.37400369)×4.77638375742107e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77638375742107e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77638375742107e-05×40589641000000     		ar = 170865.686482762m²