Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28867 / 19277
↖ ↑ ↗
← N 59.319178°
W 21.428833°		 ← 311.66 m → N 59.319178°
W 21.423340°		 →
↑
311.67 m
↓
↑
311.67 m
↓
N 59.316375°
W 21.428833°		 ← 311.68 m →
97 138 m²		 N 59.316375°
W 21.423340°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440483093261719 y=0.294151306152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440483093261719 × 216)
    floor (0.440483093261719 × 65536)
    floor (28867.5)     		tx = 28867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294151306152344 × 216)
    floor (0.294151306152344 × 65536)
    floor (19277.5)     		ty = 19277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28867 / 19277 ti = "16/28867/19277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28867/19277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28867 ÷ 216
    28867 ÷ 65536     		x = 0.440475463867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19277 ÷ 216
    19277 ÷ 65536     		y = 0.294143676757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440475463867188 × 2 - 1) × π
    -0.119049072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37400369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294143676757812 × 2 - 1) × π
    0.411712646484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.29343342554836
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37400369} λ = -0.37400369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29343342554836))-π/2
    2×atan(3.64528089484254)-π/2
    2×1.30305564396405-π/2
    2.6061112879281-1.57079632675     		φ = 1.03531496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37400369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.428833°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03531496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.319178°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28867 KachelY 19277 -0.37400369 1.03531496 -21.428833 59.319178
    Oben rechts KachelX + 1 28868 KachelY 19277 -0.37390782 1.03531496 -21.423340 59.319178
    Unten links KachelX 28867 KachelY + 1 19278 -0.37400369 1.03526604 -21.428833 59.316375
    Unten rechts KachelX + 1 28868 KachelY + 1 19278 -0.37390782 1.03526604 -21.423340 59.316375
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03531496-1.03526604) × R
    4.89200000000078e-05 × 6371000     		dl = 311.66932000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03531496-1.03526604) × R
    4.89200000000078e-05 × 6371000     		dr = 311.66932000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37400369--0.37390782) × cos(1.03531496) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.510255085096878 × 6371000     		do = 311.657565557475m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37400369--0.37390782) × cos(1.03526604) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.510297156816794 × 6371000     		du = 311.683262449463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03531496)-sin(1.03526604))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.510255085096878-0.510297156816794)×R²
    abs(-0.37390782--0.37400369)×4.20717199162146e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.20717199162146e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.20717199162146e-05×40589641000000     		ar = 97138.1060157527m²