Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28865 / 22207
↖ ↑ ↗
← N 50.067718°
W 21.439819°		 ← 392.09 m → N 50.067718°
W 21.434326°		 →
↑
392.14 m
↓
↑
392.14 m
↓
N 50.064192°
W 21.439819°		 ← 392.12 m →
153 760 m²		 N 50.064192°
W 21.434326°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28865 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22207 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440452575683594 y=0.338859558105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440452575683594 × 216)
    floor (0.440452575683594 × 65536)
    floor (28865.5)     		tx = 28865
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338859558105469 × 216)
    floor (0.338859558105469 × 65536)
    floor (22207.5)     		ty = 22207
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28865 / 22207 ti = "16/28865/22207"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28865/22207.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28865 ÷ 216
    28865 ÷ 65536     		x = 0.440444946289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22207 ÷ 216
    22207 ÷ 65536     		y = 0.338851928710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440444946289062 × 2 - 1) × π
    -0.119110107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37419544
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338851928710938 × 2 - 1) × π
    0.322296142578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.01252319377483
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37419544} λ = -0.37419544}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01252319377483))-π/2
    2×atan(2.75253744570546)-π/2
    2×1.22232142591859-π/2
    2.44464285183718-1.57079632675     		φ = 0.87384653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37419544} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.439819°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87384653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.067718°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28865 KachelY 22207 -0.37419544 0.87384653 -21.439819 50.067718
    Oben rechts KachelX + 1 28866 KachelY 22207 -0.37409956 0.87384653 -21.434326 50.067718
    Unten links KachelX 28865 KachelY + 1 22208 -0.37419544 0.87378498 -21.439819 50.064192
    Unten rechts KachelX + 1 28866 KachelY + 1 22208 -0.37409956 0.87378498 -21.434326 50.064192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87384653-0.87378498) × R
    6.15499999999658e-05 × 6371000     		dl = 392.135049999782m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87384653-0.87378498) × R
    6.15499999999658e-05 × 6371000     		dr = 392.135049999782m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37419544--0.37409956) × cos(0.87384653) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.641881769949644 × 6371000     		do = 392.09442915873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37419544--0.37409956) × cos(0.87378498) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.641928965496643 × 6371000     		du = 392.123258628463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87384653)-sin(0.87378498))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641881769949644-0.641928965496643)×R²
    abs(-0.37409956--0.37419544)×4.71955469986129e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.71955469986129e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.71955469986129e-05×40589641000000     		ar = 153759.621153897m²