Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28864 / 22336
↖ ↑ ↗
← N 49.610710°
W 21.445312°		 ← 395.78 m → N 49.610710°
W 21.439819°		 →
↑
395.77 m
↓
↑
395.77 m
↓
N 49.607151°
W 21.445312°		 ← 395.81 m →
156 641 m²		 N 49.607151°
W 21.439819°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440437316894531 y=0.340827941894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440437316894531 × 216)
    floor (0.440437316894531 × 65536)
    floor (28864.5)     		tx = 28864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340827941894531 × 216)
    floor (0.340827941894531 × 65536)
    floor (22336.5)     		ty = 22336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28864 / 22336 ti = "16/28864/22336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28864/22336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28864 ÷ 216
    28864 ÷ 65536     		x = 0.4404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22336 ÷ 216
    22336 ÷ 65536     		y = 0.3408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4404296875 × 2 - 1) × π
    -0.119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37429131
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3408203125 × 2 - 1) × π
    0.318359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.00015547367285
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37429131} λ = -0.37429131}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00015547367285))-π/2
    2×atan(2.7187044825737)-π/2
    2×1.21833327972382-π/2
    2.43666655944764-1.57079632675     		φ = 0.86587023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37429131} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.445312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86587023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.610710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28864 KachelY 22336 -0.37429131 0.86587023 -21.445312 49.610710
    Oben rechts KachelX + 1 28865 KachelY 22336 -0.37419544 0.86587023 -21.439819 49.610710
    Unten links KachelX 28864 KachelY + 1 22337 -0.37429131 0.86580811 -21.445312 49.607151
    Unten rechts KachelX + 1 28865 KachelY + 1 22337 -0.37419544 0.86580811 -21.439819 49.607151
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86587023-0.86580811) × R
    6.21199999999433e-05 × 6371000     		dl = 395.766519999639m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86587023-0.86580811) × R
    6.21199999999433e-05 × 6371000     		dr = 395.766519999639m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37429131--0.37419544) × cos(0.86587023) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.647977542231262 × 6371000     		do = 395.776758029504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37429131--0.37419544) × cos(0.86580811) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.648024855265496 × 6371000     		du = 395.805656252176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86587023)-sin(0.86580811))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647977542231262-0.648024855265496)×R²
    abs(-0.37419544--0.37429131)×4.73130342345529e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73130342345529e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73130342345529e-05×40589641000000     		ar = 156640.908746901m²