Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28863 / 19393
↖ ↑ ↗
← N 58.992482°
W 21.450806°		 ← 314.68 m → N 58.992482°
W 21.445312°		 →
↑
314.73 m
↓
↑
314.73 m
↓
N 58.989651°
W 21.450806°		 ← 314.71 m →
99 043 m²		 N 58.989651°
W 21.445312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28863 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440422058105469 y=0.295921325683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440422058105469 × 216)
    floor (0.440422058105469 × 65536)
    floor (28863.5)     		tx = 28863
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295921325683594 × 216)
    floor (0.295921325683594 × 65536)
    floor (19393.5)     		ty = 19393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28863 / 19393 ti = "16/28863/19393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28863/19393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28863 ÷ 216
    28863 ÷ 65536     		x = 0.440414428710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19393 ÷ 216
    19393 ÷ 65536     		y = 0.295913696289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440414428710938 × 2 - 1) × π
    -0.119171142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37438719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295913696289062 × 2 - 1) × π
    0.408172607421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.2823120648365
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37438719} λ = -0.37438719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2823120648365))-π/2
    2×atan(3.60496501039882)-π/2
    2×1.30020468141659-π/2
    2.60040936283319-1.57079632675     		φ = 1.02961304
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37438719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.450806°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02961304 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.992482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28863 KachelY 19393 -0.37438719 1.02961304 -21.450806 58.992482
    Oben rechts KachelX + 1 28864 KachelY 19393 -0.37429131 1.02961304 -21.445312 58.992482
    Unten links KachelX 28863 KachelY + 1 19394 -0.37438719 1.02956364 -21.450806 58.989651
    Unten rechts KachelX + 1 28864 KachelY + 1 19394 -0.37429131 1.02956364 -21.445312 58.989651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02961304-1.02956364) × R
    4.94000000001993e-05 × 6371000     		dl = 314.72740000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02961304-1.02956364) × R
    4.94000000001993e-05 × 6371000     		dr = 314.72740000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37438719--0.37429131) × cos(1.02961304) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.51515054683455 × 6371000     		do = 314.68047395667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37438719--0.37429131) × cos(1.02956364) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.515192886931666 × 6371000     		du = 314.706337467657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02961304)-sin(1.02956364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.51515054683455-0.515192886931666)×R²
    abs(-0.37429131--0.37438719)×4.23400971155674e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.23400971155674e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.23400971155674e-05×40589641000000     		ar = 99042.6373976587m²