Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28862 / 19394
↖ ↑ ↗
← N 58.989651°
W 21.456299°		 ← 314.67 m → N 58.989651°
W 21.450806°		 →
↑
314.66 m
↓
↑
314.66 m
↓
N 58.986821°
W 21.456299°		 ← 314.70 m →
99 020 m²		 N 58.986821°
W 21.450806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28862 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440406799316406 y=0.295936584472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440406799316406 × 216)
    floor (0.440406799316406 × 65536)
    floor (28862.5)     		tx = 28862
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295936584472656 × 216)
    floor (0.295936584472656 × 65536)
    floor (19394.5)     		ty = 19394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28862 / 19394 ti = "16/28862/19394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28862/19394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28862 ÷ 216
    28862 ÷ 65536     		x = 0.440399169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19394 ÷ 216
    19394 ÷ 65536     		y = 0.295928955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440399169921875 × 2 - 1) × π
    -0.11920166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37448306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295928955078125 × 2 - 1) × π
    0.40814208984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.28221619103726
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37448306} λ = -0.37448306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28221619103726))-π/2
    2×atan(3.60461940527465)-π/2
    2×1.30017998568174-π/2
    2.60035997136347-1.57079632675     		φ = 1.02956364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37448306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.456299°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02956364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.989651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28862 KachelY 19394 -0.37448306 1.02956364 -21.456299 58.989651
    Oben rechts KachelX + 1 28863 KachelY 19394 -0.37438719 1.02956364 -21.450806 58.989651
    Unten links KachelX 28862 KachelY + 1 19395 -0.37448306 1.02951425 -21.456299 58.986821
    Unten rechts KachelX + 1 28863 KachelY + 1 19395 -0.37438719 1.02951425 -21.450806 58.986821
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02956364-1.02951425) × R
    4.9389999999816e-05 × 6371000     		dl = 314.663689998828m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02956364-1.02951425) × R
    4.9389999999816e-05 × 6371000     		dr = 314.663689998828m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37448306--0.37438719) × cos(1.02956364) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.515192886931666 × 6371000     		do = 314.673514528847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37448306--0.37438719) × cos(1.02951425) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.515235217201037 × 6371000     		du = 314.69936933968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02956364)-sin(1.02951425))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.515192886931666-0.515235217201037)×R²
    abs(-0.37438719--0.37448306)×4.23302693709493e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.23302693709493e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.23302693709493e-05×40589641000000     		ar = 99020.397031678m²