Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28860 / 42188
↖ ↑ ↗
← S 45.874712°
W 21.467285°		 ← 425.29 m → S 45.874712°
W 21.461792°		 →
↑
425.26 m
↓
↑
425.26 m
↓
S 45.878537°
W 21.467285°		 ← 425.26 m →
180 856 m²		 S 45.878537°
W 21.461792°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440376281738281 y=0.643745422363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440376281738281 × 216)
    floor (0.440376281738281 × 65536)
    floor (28860.5)     		tx = 28860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643745422363281 × 216)
    floor (0.643745422363281 × 65536)
    floor (42188.5)     		ty = 42188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28860 / 42188 ti = "16/28860/42188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28860/42188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28860 ÷ 216
    28860 ÷ 65536     		x = 0.44036865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42188 ÷ 216
    42188 ÷ 65536     		y = 0.64373779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44036865234375 × 2 - 1) × π
    -0.1192626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37467481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64373779296875 × 2 - 1) × π
    -0.2874755859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.903131188841858
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37467481} λ = -0.37467481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.903131188841858))-π/2
    2×atan(0.405298604354291)-π/2
    2×0.385065777332254-π/2
    0.770131554664508-1.57079632675     		φ = -0.80066477
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37467481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.467285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80066477 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.874712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28860 KachelY 42188 -0.37467481 -0.80066477 -21.467285 -45.874712
    Oben rechts KachelX + 1 28861 KachelY 42188 -0.37457893 -0.80066477 -21.461792 -45.874712
    Unten links KachelX 28860 KachelY + 1 42189 -0.37467481 -0.80073152 -21.467285 -45.878537
    Unten rechts KachelX + 1 28861 KachelY + 1 42189 -0.37457893 -0.80073152 -21.461792 -45.878537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80066477--0.80073152) × R
    6.67500000000043e-05 × 6371000     		dl = 425.264250000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80066477--0.80073152) × R
    6.67500000000043e-05 × 6371000     		dr = 425.264250000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37467481--0.37457893) × cos(-0.80066477) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.696229678629728 × 6371000     		do = 425.292929611107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37467481--0.37457893) × cos(-0.80073152) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.696181762654987 × 6371000     		du = 425.263660067021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80066477)-sin(-0.80073152))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.696229678629728-0.696181762654987)×R²
    abs(-0.37457893--0.37467481)×4.791597474052e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.791597474052e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.791597474052e-05×40589641000000     		ar = 180855.655163088m²