Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28860 / 19397
↖ ↑ ↗
← N 58.981161°
W 21.467285°		 ← 314.78 m → N 58.981161°
W 21.461792°		 →
↑
314.79 m
↓
↑
314.79 m
↓
N 58.978330°
W 21.467285°		 ← 314.81 m →
99 095 m²		 N 58.978330°
W 21.461792°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19397 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440376281738281 y=0.295982360839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440376281738281 × 216)
    floor (0.440376281738281 × 65536)
    floor (28860.5)     		tx = 28860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295982360839844 × 216)
    floor (0.295982360839844 × 65536)
    floor (19397.5)     		ty = 19397
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28860 / 19397 ti = "16/28860/19397"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28860/19397.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28860 ÷ 216
    28860 ÷ 65536     		x = 0.44036865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19397 ÷ 216
    19397 ÷ 65536     		y = 0.295974731445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44036865234375 × 2 - 1) × π
    -0.1192626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37467481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295974731445312 × 2 - 1) × π
    0.408050537109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.28192856963954
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37467481} λ = -0.37467481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28192856963954))-π/2
    2×atan(3.60358278868676)-π/2
    2×1.3001058863006-π/2
    2.6002117726012-1.57079632675     		φ = 1.02941545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37467481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.467285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02941545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.981161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28860 KachelY 19397 -0.37467481 1.02941545 -21.467285 58.981161
    Oben rechts KachelX + 1 28861 KachelY 19397 -0.37457893 1.02941545 -21.461792 58.981161
    Unten links KachelX 28860 KachelY + 1 19398 -0.37467481 1.02936604 -21.467285 58.978330
    Unten rechts KachelX + 1 28861 KachelY + 1 19398 -0.37457893 1.02936604 -21.461792 58.978330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02941545-1.02936604) × R
    4.94099999999165e-05 × 6371000     		dl = 314.791109999468m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02941545-1.02936604) × R
    4.94099999999165e-05 × 6371000     		dr = 314.791109999468m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37467481--0.37457893) × cos(1.02941545) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.515319891109083 × 6371000     		do = 314.78391815758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37467481--0.37457893) × cos(1.02936604) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.515362234746533 × 6371000     		du = 314.809783831185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02941545)-sin(1.02936604))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.515319891109083-0.515362234746533)×R²
    abs(-0.37457893--0.37467481)×4.23436374500374e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.23436374500374e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.23436374500374e-05×40589641000000     		ar = 99095.250169051m²