Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28860 / 19387
↖ ↑ ↗
← N 59.009456°
W 21.467285°		 ← 314.53 m → N 59.009456°
W 21.461792°		 →
↑
314.54 m
↓
↑
314.54 m
↓
N 59.006627°
W 21.467285°		 ← 314.55 m →
98 934 m²		 N 59.006627°
W 21.461792°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19387 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440376281738281 y=0.295829772949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440376281738281 × 216)
    floor (0.440376281738281 × 65536)
    floor (28860.5)     		tx = 28860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295829772949219 × 216)
    floor (0.295829772949219 × 65536)
    floor (19387.5)     		ty = 19387
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28860 / 19387 ti = "16/28860/19387"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28860/19387.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28860 ÷ 216
    28860 ÷ 65536     		x = 0.44036865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19387 ÷ 216
    19387 ÷ 65536     		y = 0.295822143554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44036865234375 × 2 - 1) × π
    -0.1192626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37467481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295822143554688 × 2 - 1) × π
    0.408355712890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.28288730763194
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37467481} λ = -0.37467481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28288730763194))-π/2
    2×atan(3.60703933711242)-π/2
    2×1.30035281321524-π/2
    2.60070562643047-1.57079632675     		φ = 1.02990930
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37467481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.467285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02990930 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.009456°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28860 KachelY 19387 -0.37467481 1.02990930 -21.467285 59.009456
    Oben rechts KachelX + 1 28861 KachelY 19387 -0.37457893 1.02990930 -21.461792 59.009456
    Unten links KachelX 28860 KachelY + 1 19388 -0.37467481 1.02985993 -21.467285 59.006627
    Unten rechts KachelX + 1 28861 KachelY + 1 19388 -0.37457893 1.02985993 -21.461792 59.006627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02990930-1.02985993) × R
    4.93699999999375e-05 × 6371000     		dl = 314.536269999602m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02990930-1.02985993) × R
    4.93699999999375e-05 × 6371000     		dr = 314.536269999602m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37467481--0.37457893) × cos(1.02990930) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.514896599870592 × 6371000     		do = 314.525350078077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37467481--0.37457893) × cos(1.02985993) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.514938921788707 × 6371000     		du = 314.551202484394m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02990930)-sin(1.02985993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.514896599870592-0.514938921788707)×R²
    abs(-0.37457893--0.37467481)×4.23219181149292e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.23219181149292e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.23219181149292e-05×40589641000000     		ar = 98933.6962136998m²