Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28858 / 43418
↖ ↑ ↗
← S 50.380503°
W 21.478272°		 ← 389.53 m → S 50.380503°
W 21.472778°		 →
↑
389.46 m
↓
↑
389.46 m
↓
S 50.384005°
W 21.478272°		 ← 389.50 m →
151 701 m²		 S 50.384005°
W 21.472778°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43418 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440345764160156 y=0.662513732910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440345764160156 × 216)
    floor (0.440345764160156 × 65536)
    floor (28858.5)     		tx = 28858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662513732910156 × 216)
    floor (0.662513732910156 × 65536)
    floor (43418.5)     		ty = 43418
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28858 / 43418 ti = "16/28858/43418"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28858/43418.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28858 ÷ 216
    28858 ÷ 65536     		x = 0.440338134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43418 ÷ 216
    43418 ÷ 65536     		y = 0.662506103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440338134765625 × 2 - 1) × π
    -0.11932373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37486656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662506103515625 × 2 - 1) × π
    -0.32501220703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.0210559619072
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37486656} λ = -0.37486656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0210559619072))-π/2
    2×atan(0.360214366623277)-π/2
    2×0.345745339767805-π/2
    0.691490679535611-1.57079632675     		φ = -0.87930565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37486656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.478272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87930565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.380503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28858 KachelY 43418 -0.37486656 -0.87930565 -21.478272 -50.380503
    Oben rechts KachelX + 1 28859 KachelY 43418 -0.37477068 -0.87930565 -21.472778 -50.380503
    Unten links KachelX 28858 KachelY + 1 43419 -0.37486656 -0.87936678 -21.478272 -50.384005
    Unten rechts KachelX + 1 28859 KachelY + 1 43419 -0.37477068 -0.87936678 -21.472778 -50.384005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87930565--0.87936678) × R
    6.11299999999648e-05 × 6371000     		dl = 389.459229999776m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87930565--0.87936678) × R
    6.11299999999648e-05 × 6371000     		dr = 389.459229999776m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37486656--0.37477068) × cos(-0.87930565) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.63768615310388 × 6371000     		do = 389.531530398982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37486656--0.37477068) × cos(-0.87936678) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.637639063700393 × 6371000     		du = 389.50276576717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87930565)-sin(-0.87936678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63768615310388-0.637639063700393)×R²
    abs(-0.37477068--0.37486656)×4.70894034871883e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.70894034871883e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.70894034871883e-05×40589641000000     		ar = 151701.048611333m²