Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28857 / 43421
↖ ↑ ↗
← S 50.391010°
W 21.483765°		 ← 389.40 m → S 50.391010°
W 21.478272°		 →
↑
389.40 m
↓
↑
389.40 m
↓
S 50.394512°
W 21.483765°		 ← 389.38 m →
151 627 m²		 S 50.394512°
W 21.478272°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440330505371094 y=0.662559509277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440330505371094 × 216)
    floor (0.440330505371094 × 65536)
    floor (28857.5)     		tx = 28857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662559509277344 × 216)
    floor (0.662559509277344 × 65536)
    floor (43421.5)     		ty = 43421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28857 / 43421 ti = "16/28857/43421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28857/43421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28857 ÷ 216
    28857 ÷ 65536     		x = 0.440322875976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43421 ÷ 216
    43421 ÷ 65536     		y = 0.662551879882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440322875976562 × 2 - 1) × π
    -0.119354248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37496243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662551879882812 × 2 - 1) × π
    -0.325103759765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.02134358330492
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37496243} λ = -0.37496243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02134358330492))-π/2
    2×atan(0.360110776161801)-π/2
    2×0.345653643834846-π/2
    0.691307287669692-1.57079632675     		φ = -0.87948904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37496243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.483765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87948904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.391010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28857 KachelY 43421 -0.37496243 -0.87948904 -21.483765 -50.391010
    Oben rechts KachelX + 1 28858 KachelY 43421 -0.37486656 -0.87948904 -21.478272 -50.391010
    Unten links KachelX 28857 KachelY + 1 43422 -0.37496243 -0.87955016 -21.483765 -50.394512
    Unten rechts KachelX + 1 28858 KachelY + 1 43422 -0.37486656 -0.87955016 -21.478272 -50.394512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87948904--0.87955016) × R
    6.11199999999146e-05 × 6371000     		dl = 389.395519999456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87948904--0.87955016) × R
    6.11199999999146e-05 × 6371000     		dr = 389.395519999456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37496243--0.37486656) × cos(-0.87948904) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.637544877745259 × 6371000     		do = 389.404614152941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37496243--0.37486656) × cos(-0.87955016) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.637497788898486 × 6371000     		du = 389.375852861228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87948904)-sin(-0.87955016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637544877745259-0.637497788898486)×R²
    abs(-0.37486656--0.37496243)×4.70888467732911e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70888467732911e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70888467732911e-05×40589641000000     		ar = 151626.812506296m²