Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28856 / 42331
↖ ↑ ↗
← S 46.418926°
W 21.489258°		 ← 421.07 m → S 46.418926°
W 21.483765°		 →
↑
421.06 m
↓
↑
421.06 m
↓
S 46.422712°
W 21.489258°		 ← 421.04 m →
177 287 m²		 S 46.422712°
W 21.483765°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440315246582031 y=0.645927429199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440315246582031 × 216)
    floor (0.440315246582031 × 65536)
    floor (28856.5)     		tx = 28856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645927429199219 × 216)
    floor (0.645927429199219 × 65536)
    floor (42331.5)     		ty = 42331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28856 / 42331 ti = "16/28856/42331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28856/42331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28856 ÷ 216
    28856 ÷ 65536     		x = 0.4403076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42331 ÷ 216
    42331 ÷ 65536     		y = 0.645919799804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4403076171875 × 2 - 1) × π
    -0.119384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37505830
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645919799804688 × 2 - 1) × π
    -0.291839599609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.916841142133194
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37505830} λ = -0.37505830}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.916841142133194))-π/2
    2×atan(0.39977989647556)-π/2
    2×0.380316618294751-π/2
    0.760633236589502-1.57079632675     		φ = -0.81016309
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37505830} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.489258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81016309 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.418926°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28856 KachelY 42331 -0.37505830 -0.81016309 -21.489258 -46.418926
    Oben rechts KachelX + 1 28857 KachelY 42331 -0.37496243 -0.81016309 -21.483765 -46.418926
    Unten links KachelX 28856 KachelY + 1 42332 -0.37505830 -0.81022918 -21.489258 -46.422712
    Unten rechts KachelX + 1 28857 KachelY + 1 42332 -0.37496243 -0.81022918 -21.483765 -46.422712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81016309--0.81022918) × R
    6.60900000000186e-05 × 6371000     		dl = 421.059390000119m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81016309--0.81022918) × R
    6.60900000000186e-05 × 6371000     		dr = 421.059390000119m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37505830--0.37496243) × cos(-0.81016309) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.689380299787243 × 6371000     		do = 421.065055988972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37505830--0.37496243) × cos(-0.81022918) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.689332422711152 × 6371000     		du = 421.035813256433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81016309)-sin(-0.81022918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.689380299787243-0.689332422711152)×R²
    abs(-0.37496243--0.37505830)×4.78770760909963e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78770760909963e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78770760909963e-05×40589641000000     		ar = 177287.23922595m²