Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28855 / 43417
↖ ↑ ↗
← S 50.377000°
W 21.494751°		 ← 389.56 m → S 50.377000°
W 21.489258°		 →
↑
389.52 m
↓
↑
389.52 m
↓
S 50.380503°
W 21.494751°		 ← 389.53 m →
151 737 m²		 S 50.380503°
W 21.489258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28855 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43417 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440299987792969 y=0.662498474121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440299987792969 × 216)
    floor (0.440299987792969 × 65536)
    floor (28855.5)     		tx = 28855
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662498474121094 × 216)
    floor (0.662498474121094 × 65536)
    floor (43417.5)     		ty = 43417
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28855 / 43417 ti = "16/28855/43417"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28855/43417.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28855 ÷ 216
    28855 ÷ 65536     		x = 0.440292358398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43417 ÷ 216
    43417 ÷ 65536     		y = 0.662490844726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440292358398438 × 2 - 1) × π
    -0.119415283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37515418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662490844726562 × 2 - 1) × π
    -0.324981689453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.02096008810796
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37515418} λ = -0.37515418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02096008810796))-π/2
    2×atan(0.360248903398706)-π/2
    2×0.345775909593794-π/2
    0.691551819187588-1.57079632675     		φ = -0.87924451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37515418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.494751°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87924451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.377000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28855 KachelY 43417 -0.37515418 -0.87924451 -21.494751 -50.377000
    Oben rechts KachelX + 1 28856 KachelY 43417 -0.37505830 -0.87924451 -21.489258 -50.377000
    Unten links KachelX 28855 KachelY + 1 43418 -0.37515418 -0.87930565 -21.494751 -50.380503
    Unten rechts KachelX + 1 28856 KachelY + 1 43418 -0.37505830 -0.87930565 -21.489258 -50.380503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87924451--0.87930565) × R
    6.11400000000151e-05 × 6371000     		dl = 389.522940000096m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87924451--0.87930565) × R
    6.11400000000151e-05 × 6371000     		dr = 389.522940000096m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37515418--0.37505830) × cos(-0.87924451) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.637733247826986 × 6371000     		do = 389.560298280291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37515418--0.37505830) × cos(-0.87930565) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.63768615310388 × 6371000     		du = 389.531530398982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87924451)-sin(-0.87930565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637733247826986-0.63768615310388)×R²
    abs(-0.37505830--0.37515418)×4.70947231054897e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.70947231054897e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.70947231054897e-05×40589641000000     		ar = 151737.069865831m²