Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28855 / 19404
↖ ↑ ↗
← N 58.961340°
W 21.494751°		 ← 314.96 m → N 58.961340°
W 21.489258°		 →
↑
314.98 m
↓
↑
314.98 m
↓
N 58.958507°
W 21.494751°		 ← 314.99 m →
99 212 m²		 N 58.958507°
W 21.489258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28855 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440299987792969 y=0.296089172363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440299987792969 × 216)
    floor (0.440299987792969 × 65536)
    floor (28855.5)     		tx = 28855
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296089172363281 × 216)
    floor (0.296089172363281 × 65536)
    floor (19404.5)     		ty = 19404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28855 / 19404 ti = "16/28855/19404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28855/19404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28855 ÷ 216
    28855 ÷ 65536     		x = 0.440292358398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19404 ÷ 216
    19404 ÷ 65536     		y = 0.29608154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440292358398438 × 2 - 1) × π
    -0.119415283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37515418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29608154296875 × 2 - 1) × π
    0.4078369140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.28125745304486
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37515418} λ = -0.37515418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28125745304486))-π/2
    2×atan(3.60116517581776)-π/2
    2×1.29993291670102-π/2
    2.59986583340204-1.57079632675     		φ = 1.02906951
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37515418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.494751°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02906951 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.961340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28855 KachelY 19404 -0.37515418 1.02906951 -21.494751 58.961340
    Oben rechts KachelX + 1 28856 KachelY 19404 -0.37505830 1.02906951 -21.489258 58.961340
    Unten links KachelX 28855 KachelY + 1 19405 -0.37515418 1.02902007 -21.494751 58.958507
    Unten rechts KachelX + 1 28856 KachelY + 1 19405 -0.37505830 1.02902007 -21.489258 58.958507
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02906951-1.02902007) × R
    4.94399999999562e-05 × 6371000     		dl = 314.982239999721m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02906951-1.02902007) × R
    4.94399999999562e-05 × 6371000     		dr = 314.982239999721m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37515418--0.37505830) × cos(1.02906951) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.515616330123236 × 6371000     		do = 314.964998367923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37515418--0.37505830) × cos(1.02902007) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.515658690653305 × 6371000     		du = 314.990874360409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02906951)-sin(1.02902007))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.515616330123236-0.515658690653305)×R²
    abs(-0.37505830--0.37515418)×4.23605300685637e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.23605300685637e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.23605300685637e-05×40589641000000     		ar = 99212.4559665732m²