Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28853 / 43419
↖ ↑ ↗
← S 50.384005°
W 21.505737°		 ← 389.46 m → S 50.384005°
W 21.500244°		 →
↑
389.46 m
↓
↑
389.46 m
↓
S 50.387508°
W 21.505737°		 ← 389.43 m →
151 674 m²		 S 50.387508°
W 21.500244°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28853 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43419 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440269470214844 y=0.662528991699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440269470214844 × 216)
    floor (0.440269470214844 × 65536)
    floor (28853.5)     		tx = 28853
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662528991699219 × 216)
    floor (0.662528991699219 × 65536)
    floor (43419.5)     		ty = 43419
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28853 / 43419 ti = "16/28853/43419"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28853/43419.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28853 ÷ 216
    28853 ÷ 65536     		x = 0.440261840820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43419 ÷ 216
    43419 ÷ 65536     		y = 0.662521362304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440261840820312 × 2 - 1) × π
    -0.119476318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37534592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662521362304688 × 2 - 1) × π
    -0.325042724609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.02115183570644
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37534592} λ = -0.37534592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02115183570644))-π/2
    2×atan(0.360179833158862)-π/2
    2×0.345714772199353-π/2
    0.691429544398706-1.57079632675     		φ = -0.87936678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37534592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.505737°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87936678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.384005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28853 KachelY 43419 -0.37534592 -0.87936678 -21.505737 -50.384005
    Oben rechts KachelX + 1 28854 KachelY 43419 -0.37525005 -0.87936678 -21.500244 -50.384005
    Unten links KachelX 28853 KachelY + 1 43420 -0.37534592 -0.87942791 -21.505737 -50.387508
    Unten rechts KachelX + 1 28854 KachelY + 1 43420 -0.37525005 -0.87942791 -21.500244 -50.387508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87936678--0.87942791) × R
    6.11299999999648e-05 × 6371000     		dl = 389.459229999776m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87936678--0.87942791) × R
    6.11299999999648e-05 × 6371000     		dr = 389.459229999776m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37534592--0.37525005) × cos(-0.87936678) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.637639063700393 × 6371000     		do = 389.462141782443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37534592--0.37525005) × cos(-0.87942791) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.637591971914127 × 6371000     		du = 389.433378695324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87936678)-sin(-0.87942791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637639063700393-0.637591971914127)×R²
    abs(-0.37525005--0.37534592)×4.70917862657183e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70917862657183e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70917862657183e-05×40589641000000     		ar = 151674.02487483m²