Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28849 / 42275
S 46.206448°
W 21.527710°
← 422.70 m → S 46.206448°
W 21.522217°

422.65 m

422.65 m
S 46.210249°
W 21.527710°
← 422.67 m →
178 650 m²
S 46.210249°
W 21.522217°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440208435058594 y=0.645072937011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440208435058594 × 216)
    floor (0.440208435058594 × 65536)
    floor (28849.5)
    tx = 28849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645072937011719 × 216)
    floor (0.645072937011719 × 65536)
    floor (42275.5)
    ty = 42275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28849 / 42275 ti = "16/28849/42275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28849/42275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28849 ÷ 216
    28849 ÷ 65536
    x = 0.440200805664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42275 ÷ 216
    42275 ÷ 65536
    y = 0.645065307617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.440200805664062 × 2 - 1) × π
    -0.119598388671875 × 3.1415926535
    Λ = -0.37572942
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.645065307617188 × 2 - 1) × π
    -0.290130615234375 × 3.1415926535
    Φ = -0.911472209375748
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37572942} λ = -0.37572942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.911472209375748))-π/2
    2×atan(0.401932060098651)-π/2
    2×0.382170835716521-π/2
    0.764341671433043-1.57079632675
    φ = -0.80645466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37572942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.527710°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80645466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.206448°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28849 KachelY 42275 -0.37572942 -0.80645466 -21.527710 -46.206448
    Oben rechts KachelX + 1 28850 KachelY 42275 -0.37563355 -0.80645466 -21.522217 -46.206448
    Unten links KachelX 28849 KachelY + 1 42276 -0.37572942 -0.80652100 -21.527710 -46.210249
    Unten rechts KachelX + 1 28850 KachelY + 1 42276 -0.37563355 -0.80652100 -21.522217 -46.210249
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-0.80645466--0.80652100) × R
    6.63400000000536e-05 × 6371000
    dl = 422.652140000341m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-0.80645466--0.80652100) × R
    6.63400000000536e-05 × 6371000
    dr = 422.652140000341m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37572942--0.37563355) × cos(-0.80645466) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.692061938564564 × 6371000
    do = 422.702968157718m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37572942--0.37563355) × cos(-0.80652100) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.692014050300759 × 6371000
    du = 422.673718591859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-0.80645466)-sin(-0.80652100))×
    abs(λ12)×abs(0.692061938564564-0.692014050300759)×
    abs(-0.37563355--0.37572942)×4.78882638048628e-05×
    9.58699999999979e-05×4.78882638048628e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78882638048628e-05×40589641000000
    ar = 178650.132945974m²