Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28847 / 40622
↖ ↑ ↗
← S 39.563353°
W 21.538696°		 ← 470.92 m → S 39.563353°
W 21.533203°		 →
↑
470.82 m
↓
↑
470.82 m
↓
S 39.567588°
W 21.538696°		 ← 470.89 m →
221 709 m²		 S 39.567588°
W 21.533203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28847 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440177917480469 y=0.619850158691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440177917480469 × 216)
    floor (0.440177917480469 × 65536)
    floor (28847.5)     		tx = 28847
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619850158691406 × 216)
    floor (0.619850158691406 × 65536)
    floor (40622.5)     		ty = 40622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28847 / 40622 ti = "16/28847/40622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28847/40622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28847 ÷ 216
    28847 ÷ 65536     		x = 0.440170288085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40622 ÷ 216
    40622 ÷ 65536     		y = 0.619842529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440170288085938 × 2 - 1) × π
    -0.119659423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37592117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619842529296875 × 2 - 1) × π
    -0.23968505859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.752992819231842
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37592117} λ = -0.37592117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.752992819231842))-π/2
    2×atan(0.47095495841445)-π/2
    2×0.440142775469223-π/2
    0.880285550938445-1.57079632675     		φ = -0.69051078
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37592117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.538696°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69051078 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.563353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28847 KachelY 40622 -0.37592117 -0.69051078 -21.538696 -39.563353
    Oben rechts KachelX + 1 28848 KachelY 40622 -0.37582529 -0.69051078 -21.533203 -39.563353
    Unten links KachelX 28847 KachelY + 1 40623 -0.37592117 -0.69058468 -21.538696 -39.567588
    Unten rechts KachelX + 1 28848 KachelY + 1 40623 -0.37582529 -0.69058468 -21.533203 -39.567588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69051078--0.69058468) × R
    7.38999999999601e-05 × 6371000     		dl = 470.816899999746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69051078--0.69058468) × R
    7.38999999999601e-05 × 6371000     		dr = 470.816899999746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37592117--0.37582529) × cos(-0.69051078) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.77092078394173 × 6371000     		do = 470.918101833803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37592117--0.37582529) × cos(-0.69058468) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.770873712633117 × 6371000     		du = 470.889348255271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69051078)-sin(-0.69058468))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.77092078394173-0.770873712633117)×R²
    abs(-0.37582529--0.37592117)×4.70713086131447e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.70713086131447e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.70713086131447e-05×40589641000000     		ar = 221709.432125049m²