Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28846 / 22290
↖ ↑ ↗
← N 49.774169°
W 21.544189°		 ← 394.45 m → N 49.774169°
W 21.538696°		 →
↑
394.49 m
↓
↑
394.49 m
↓
N 49.770622°
W 21.544189°		 ← 394.48 m →
155 612 m²		 N 49.770622°
W 21.538696°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28846 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440162658691406 y=0.340126037597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440162658691406 × 216)
    floor (0.440162658691406 × 65536)
    floor (28846.5)     		tx = 28846
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340126037597656 × 216)
    floor (0.340126037597656 × 65536)
    floor (22290.5)     		ty = 22290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28846 / 22290 ti = "16/28846/22290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28846/22290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28846 ÷ 216
    28846 ÷ 65536     		x = 0.440155029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22290 ÷ 216
    22290 ÷ 65536     		y = 0.340118408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440155029296875 × 2 - 1) × π
    -0.11968994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37601704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340118408203125 × 2 - 1) × π
    0.31976318359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.0045656684379
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37601704} λ = -0.37601704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0045656684379))-π/2
    2×atan(2.73072097691413)-π/2
    2×1.21975973424273-π/2
    2.43951946848547-1.57079632675     		φ = 0.86872314
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37601704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.544189°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86872314 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.774169°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28846 KachelY 22290 -0.37601704 0.86872314 -21.544189 49.774169
    Oben rechts KachelX + 1 28847 KachelY 22290 -0.37592117 0.86872314 -21.538696 49.774169
    Unten links KachelX 28846 KachelY + 1 22291 -0.37601704 0.86866122 -21.544189 49.770622
    Unten rechts KachelX + 1 28847 KachelY + 1 22291 -0.37592117 0.86866122 -21.538696 49.770622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86872314-0.86866122) × R
    6.19199999999376e-05 × 6371000     		dl = 394.492319999602m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86872314-0.86866122) × R
    6.19199999999376e-05 × 6371000     		dr = 394.492319999602m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37601704--0.37592117) × cos(0.86872314) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.645801962368012 × 6371000     		do = 394.447940456374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37601704--0.37592117) × cos(0.86866122) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.645849237357134 × 6371000     		du = 394.476815441556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86872314)-sin(0.86866122))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645801962368012-0.645849237357134)×R²
    abs(-0.37592117--0.37601704)×4.7274989121826e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7274989121826e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7274989121826e-05×40589641000000     		ar = 155612.378679445m²