Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28843 / 19151
↖ ↑ ↗
← N 59.670515°
W 21.560669°		 ← 308.43 m → N 59.670515°
W 21.555176°		 →
↑
308.48 m
↓
↑
308.48 m
↓
N 59.667741°
W 21.560669°		 ← 308.46 m →
95 150 m²		 N 59.667741°
W 21.555176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440116882324219 y=0.292228698730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440116882324219 × 216)
    floor (0.440116882324219 × 65536)
    floor (28843.5)     		tx = 28843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292228698730469 × 216)
    floor (0.292228698730469 × 65536)
    floor (19151.5)     		ty = 19151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28843 / 19151 ti = "16/28843/19151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28843/19151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28843 ÷ 216
    28843 ÷ 65536     		x = 0.440109252929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19151 ÷ 216
    19151 ÷ 65536     		y = 0.292221069335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440109252929688 × 2 - 1) × π
    -0.119781494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37630466
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.292221069335938 × 2 - 1) × π
    0.415557861328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.30551352425261
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37630466} λ = -0.37630466}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30551352425261))-π/2
    2×atan(3.68958329780896)-π/2
    2×1.30612163636354-π/2
    2.61224327272708-1.57079632675     		φ = 1.04144695
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37630466} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.560669°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04144695 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.670515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28843 KachelY 19151 -0.37630466 1.04144695 -21.560669 59.670515
    Oben rechts KachelX + 1 28844 KachelY 19151 -0.37620879 1.04144695 -21.555176 59.670515
    Unten links KachelX 28843 KachelY + 1 19152 -0.37630466 1.04139853 -21.560669 59.667741
    Unten rechts KachelX + 1 28844 KachelY + 1 19152 -0.37620879 1.04139853 -21.555176 59.667741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04144695-1.04139853) × R
    4.842000000016e-05 × 6371000     		dl = 308.483820001019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04144695-1.04139853) × R
    4.842000000016e-05 × 6371000     		dr = 308.483820001019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37630466--0.37620879) × cos(1.04144695) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.504971871944052 × 6371000     		do = 308.430643577426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37630466--0.37620879) × cos(1.04139853) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.5050136643875 × 6371000     		du = 308.456169890763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04144695)-sin(1.04139853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.504971871944052-0.5050136643875)×R²
    abs(-0.37620879--0.37630466)×4.179244344793e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.179244344793e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.179244344793e-05×40589641000000     		ar = 95149.8003820681m²