Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28842 / 20650
↖ ↑ ↗
← N 76.734096°
W100.783081°		 ← 70.07 m → N 76.734096°
W100.780335°		 →
↑
70.08 m
↓
↑
70.08 m
↓
N 76.733466°
W100.783081°		 ← 70.07 m →
4 911 m²		 N 76.733466°
W100.780335°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28842 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220050811767578 y=0.157550811767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220050811767578 × 217)
    floor (0.220050811767578 × 131072)
    floor (28842.5)     		tx = 28842
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157550811767578 × 217)
    floor (0.157550811767578 × 131072)
    floor (20650.5)     		ty = 20650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28842 / 20650 ti = "17/28842/20650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28842/20650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28842 ÷ 217
    28842 ÷ 131072     		x = 0.220046997070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20650 ÷ 217
    20650 ÷ 131072     		y = 0.157546997070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220046997070312 × 2 - 1) × π
    -0.559906005859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.75899659
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157546997070312 × 2 - 1) × π
    0.684906005859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.15169567634584
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75899659} λ = -1.75899659}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15169567634584))-π/2
    2×atan(8.5994278875735)-π/2
    2×1.45502947633688-π/2
    2.91005895267376-1.57079632675     		φ = 1.33926263
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75899659} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.783081°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33926263 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.734096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28842 KachelY 20650 -1.75899659 1.33926263 -100.783081 76.734096
    Oben rechts KachelX + 1 28843 KachelY 20650 -1.75894866 1.33926263 -100.780335 76.734096
    Unten links KachelX 28842 KachelY + 1 20651 -1.75899659 1.33925163 -100.783081 76.733466
    Unten rechts KachelX + 1 28843 KachelY + 1 20651 -1.75894866 1.33925163 -100.780335 76.733466
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33926263-1.33925163) × R
    1.09999999999832e-05 × 6371000     		dl = 70.0809999998933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33926263-1.33925163) × R
    1.09999999999832e-05 × 6371000     		dr = 70.0809999998933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75899659--1.75894866) × cos(1.33926263) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.229470563851813 × 6371000     		do = 70.0715972030771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75899659--1.75894866) × cos(1.33925163) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.229481270309547 × 6371000     		du = 70.074866548745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33926263)-sin(1.33925163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.229470563851813-0.229481270309547)×R²
    abs(-1.75894866--1.75899659)×1.07064577344329e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.07064577344329e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.07064577344329e-05×40589641000000     		ar = 4910.8021632229m²