Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28841 / 42875
↖ ↑ ↗
← S 48.440134°
W 21.571655°		 ← 405.20 m → S 48.440134°
W 21.566162°		 →
↑
405.20 m
↓
↑
405.20 m
↓
S 48.443778°
W 21.571655°		 ← 405.17 m →
164 179 m²		 S 48.443778°
W 21.566162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440086364746094 y=0.654228210449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440086364746094 × 216)
    floor (0.440086364746094 × 65536)
    floor (28841.5)     		tx = 28841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654228210449219 × 216)
    floor (0.654228210449219 × 65536)
    floor (42875.5)     		ty = 42875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28841 / 42875 ti = "16/28841/42875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28841/42875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28841 ÷ 216
    28841 ÷ 65536     		x = 0.440078735351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42875 ÷ 216
    42875 ÷ 65536     		y = 0.654220581054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440078735351562 × 2 - 1) × π
    -0.119842529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37649641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654220581054688 × 2 - 1) × π
    -0.308441162109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.968996488919815
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37649641} λ = -0.37649641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.968996488919815))-π/2
    2×atan(0.379463643071157)-π/2
    2×0.362678246899345-π/2
    0.725356493798689-1.57079632675     		φ = -0.84543983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37649641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.571655°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84543983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.440134°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28841 KachelY 42875 -0.37649641 -0.84543983 -21.571655 -48.440134
    Oben rechts KachelX + 1 28842 KachelY 42875 -0.37640054 -0.84543983 -21.566162 -48.440134
    Unten links KachelX 28841 KachelY + 1 42876 -0.37649641 -0.84550343 -21.571655 -48.443778
    Unten rechts KachelX + 1 28842 KachelY + 1 42876 -0.37640054 -0.84550343 -21.566162 -48.443778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84543983--0.84550343) × R
    6.35999999999415e-05 × 6371000     		dl = 405.195599999627m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84543983--0.84550343) × R
    6.35999999999415e-05 × 6371000     		dr = 405.195599999627m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37649641--0.37640054) × cos(-0.84543983) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.663402238163681 × 6371000     		do = 405.197973660995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37649641--0.37640054) × cos(-0.84550343) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.663354647297183 × 6371000     		du = 405.168905741774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84543983)-sin(-0.84550343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663402238163681-0.663354647297183)×R²
    abs(-0.37640054--0.37649641)×4.75908664979707e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75908664979707e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75908664979707e-05×40589641000000     		ar = 164178.547015049m²