Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28841 / 20425
↖ ↑ ↗
← N 76.875163°
W100.785828°		 ← 69.35 m → N 76.875163°
W100.783081°		 →
↑
69.32 m
↓
↑
69.32 m
↓
N 76.874539°
W100.785828°		 ← 69.36 m →
4 807 m²		 N 76.874539°
W100.783081°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20425 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220043182373047 y=0.155834197998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220043182373047 × 217)
    floor (0.220043182373047 × 131072)
    floor (28841.5)     		tx = 28841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155834197998047 × 217)
    floor (0.155834197998047 × 131072)
    floor (20425.5)     		ty = 20425
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28841 / 20425 ti = "17/28841/20425"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28841/20425.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28841 ÷ 217
    28841 ÷ 131072     		x = 0.220039367675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20425 ÷ 217
    20425 ÷ 131072     		y = 0.155830383300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220039367675781 × 2 - 1) × π
    -0.559921264648438 × 3.1415926535     		Λ = -1.75904453
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155830383300781 × 2 - 1) × π
    0.688339233398438 × 3.1415926535     		Φ = 2.16248147876035
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75904453} λ = -1.75904453}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16248147876035))-π/2
    2×atan(8.69268162177955)-π/2
    2×1.45626051416871-π/2
    2.91252102833742-1.57079632675     		φ = 1.34172470
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75904453} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.785828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34172470 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.875163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28841 KachelY 20425 -1.75904453 1.34172470 -100.785828 76.875163
    Oben rechts KachelX + 1 28842 KachelY 20425 -1.75899659 1.34172470 -100.783081 76.875163
    Unten links KachelX 28841 KachelY + 1 20426 -1.75904453 1.34171382 -100.785828 76.874539
    Unten rechts KachelX + 1 28842 KachelY + 1 20426 -1.75899659 1.34171382 -100.783081 76.874539
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34172470-1.34171382) × R
    1.08800000000464e-05 × 6371000     		dl = 69.3164800002957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34172470-1.34171382) × R
    1.08800000000464e-05 × 6371000     		dr = 69.3164800002957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75904453--1.75899659) × cos(1.34172470) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.227073499628938 × 6371000     		do = 69.3540916585126m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75904453--1.75899659) × cos(1.34171382) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.227084095404043 × 6371000     		du = 69.3573278809649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34172470)-sin(1.34171382))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227073499628938-0.227084095404043)×R²
    abs(-1.75899659--1.75904453)×1.05957751048713e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05957751048713e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05957751048713e-05×40589641000000     		ar = 4807.49366930254m²