Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28840 / 42282
↖ ↑ ↗
← S 46.233053°
W 21.577148°		 ← 422.50 m → S 46.233053°
W 21.571655°		 →
↑
422.46 m
↓
↑
422.46 m
↓
S 46.236852°
W 21.577148°		 ← 422.47 m →
178 483 m²		 S 46.236852°
W 21.571655°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440071105957031 y=0.645179748535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440071105957031 × 216)
    floor (0.440071105957031 × 65536)
    floor (28840.5)     		tx = 28840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645179748535156 × 216)
    floor (0.645179748535156 × 65536)
    floor (42282.5)     		ty = 42282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28840 / 42282 ti = "16/28840/42282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28840/42282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28840 ÷ 216
    28840 ÷ 65536     		x = 0.4400634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42282 ÷ 216
    42282 ÷ 65536     		y = 0.645172119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4400634765625 × 2 - 1) × π
    -0.119873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37659228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645172119140625 × 2 - 1) × π
    -0.29034423828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.912143325970428
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37659228} λ = -0.37659228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.912143325970428))-π/2
    2×atan(0.401662407317534)-π/2
    2×0.38193866483867-π/2
    0.76387732967734-1.57079632675     		φ = -0.80691900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37659228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.577148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80691900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.233053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28840 KachelY 42282 -0.37659228 -0.80691900 -21.577148 -46.233053
    Oben rechts KachelX + 1 28841 KachelY 42282 -0.37649641 -0.80691900 -21.571655 -46.233053
    Unten links KachelX 28840 KachelY + 1 42283 -0.37659228 -0.80698531 -21.577148 -46.236852
    Unten rechts KachelX + 1 28841 KachelY + 1 42283 -0.37649641 -0.80698531 -21.571655 -46.236852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80691900--0.80698531) × R
    6.63099999999028e-05 × 6371000     		dl = 422.461009999381m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80691900--0.80698531) × R
    6.63099999999028e-05 × 6371000     		dr = 422.461009999381m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37659228--0.37649641) × cos(-0.80691900) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.691726685655118 × 6371000     		do = 422.498199780771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37659228--0.37649641) × cos(-0.80698531) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.691678797744878 × 6371000     		du = 422.468950430866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80691900)-sin(-0.80698531))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.691726685655118-0.691678797744878)×R²
    abs(-0.37649641--0.37659228)×4.78879102399077e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78879102399077e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78879102399077e-05×40589641000000     		ar = 178482.837912477m²