Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28840 / 19128
↖ ↑ ↗
← N 59.734254°
W 21.577148°		 ← 307.84 m → N 59.734254°
W 21.571655°		 →
↑
307.85 m
↓
↑
307.85 m
↓
N 59.731485°
W 21.577148°		 ← 307.87 m →
94 773 m²		 N 59.731485°
W 21.571655°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440071105957031 y=0.291877746582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440071105957031 × 216)
    floor (0.440071105957031 × 65536)
    floor (28840.5)     		tx = 28840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291877746582031 × 216)
    floor (0.291877746582031 × 65536)
    floor (19128.5)     		ty = 19128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28840 / 19128 ti = "16/28840/19128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28840/19128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28840 ÷ 216
    28840 ÷ 65536     		x = 0.4400634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19128 ÷ 216
    19128 ÷ 65536     		y = 0.2918701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4400634765625 × 2 - 1) × π
    -0.119873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37659228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2918701171875 × 2 - 1) × π
    0.416259765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.30771862163513
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37659228} λ = -0.37659228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30771862163513))-π/2
    2×atan(3.69772816509399)-π/2
    2×1.30667786282865-π/2
    2.6133557256573-1.57079632675     		φ = 1.04255940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37659228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.577148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04255940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.734254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28840 KachelY 19128 -0.37659228 1.04255940 -21.577148 59.734254
    Oben rechts KachelX + 1 28841 KachelY 19128 -0.37649641 1.04255940 -21.571655 59.734254
    Unten links KachelX 28840 KachelY + 1 19129 -0.37659228 1.04251108 -21.577148 59.731485
    Unten rechts KachelX + 1 28841 KachelY + 1 19129 -0.37649641 1.04251108 -21.571655 59.731485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04255940-1.04251108) × R
    4.83200000001016e-05 × 6371000     		dl = 307.846720000647m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04255940-1.04251108) × R
    4.83200000001016e-05 × 6371000     		dr = 307.846720000647m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37659228--0.37649641) × cos(1.04255940) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.504011364259162 × 6371000     		do = 307.843977230505m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37659228--0.37649641) × cos(1.04251108) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.504053097510829 × 6371000     		du = 307.869467390225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04255940)-sin(1.04251108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.504011364259162-0.504053097510829)×R²
    abs(-0.37649641--0.37659228)×4.17332516672309e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.17332516672309e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.17332516672309e-05×40589641000000     		ar = 94772.6822118347m²