Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28839 / 19155
↖ ↑ ↗
← N 59.659417°
W 21.582642°		 ← 308.56 m → N 59.659417°
W 21.577148°		 →
↑
308.55 m
↓
↑
308.55 m
↓
N 59.656642°
W 21.582642°		 ← 308.59 m →
95 211 m²		 N 59.656642°
W 21.577148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28839 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19155 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440055847167969 y=0.292289733886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440055847167969 × 216)
    floor (0.440055847167969 × 65536)
    floor (28839.5)     		tx = 28839
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292289733886719 × 216)
    floor (0.292289733886719 × 65536)
    floor (19155.5)     		ty = 19155
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28839 / 19155 ti = "16/28839/19155"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28839/19155.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28839 ÷ 216
    28839 ÷ 65536     		x = 0.440048217773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19155 ÷ 216
    19155 ÷ 65536     		y = 0.292282104492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440048217773438 × 2 - 1) × π
    -0.119903564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37668816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.292282104492188 × 2 - 1) × π
    0.415435791015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.30513002905565
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37668816} λ = -0.37668816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30513002905565))-π/2
    2×atan(3.68816863161165)-π/2
    2×1.30602479319266-π/2
    2.61204958638532-1.57079632675     		φ = 1.04125326
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37668816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.582642°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04125326 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.659417°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28839 KachelY 19155 -0.37668816 1.04125326 -21.582642 59.659417
    Oben rechts KachelX + 1 28840 KachelY 19155 -0.37659228 1.04125326 -21.577148 59.659417
    Unten links KachelX 28839 KachelY + 1 19156 -0.37668816 1.04120483 -21.582642 59.656642
    Unten rechts KachelX + 1 28840 KachelY + 1 19156 -0.37659228 1.04120483 -21.577148 59.656642
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04125326-1.04120483) × R
    4.84299999998772e-05 × 6371000     		dl = 308.547529999218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04125326-1.04120483) × R
    4.84299999998772e-05 × 6371000     		dr = 308.547529999218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37668816--0.37659228) × cos(1.04125326) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.505139043243815 × 6371000     		do = 308.564932171245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37668816--0.37659228) × cos(1.04120483) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.505180839580554 × 6371000     		du = 308.5904635254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04125326)-sin(1.04120483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.505139043243815-0.505180839580554)×R²
    abs(-0.37659228--0.37668816)×4.1796336739397e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.1796336739397e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.1796336739397e-05×40589641000000     		ar = 95210.8865029486m²