Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28838 / 19141
↖ ↑ ↗
← N 59.698242°
W 21.588135°		 ← 308.18 m → N 59.698242°
W 21.582642°		 →
↑
308.17 m
↓
↑
308.17 m
↓
N 59.695471°
W 21.588135°		 ← 308.20 m →
94 973 m²		 N 59.695471°
W 21.582642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440040588378906 y=0.292076110839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440040588378906 × 216)
    floor (0.440040588378906 × 65536)
    floor (28838.5)     		tx = 28838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292076110839844 × 216)
    floor (0.292076110839844 × 65536)
    floor (19141.5)     		ty = 19141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28838 / 19141 ti = "16/28838/19141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28838/19141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28838 ÷ 216
    28838 ÷ 65536     		x = 0.440032958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19141 ÷ 216
    19141 ÷ 65536     		y = 0.292068481445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440032958984375 × 2 - 1) × π
    -0.11993408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37678403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.292068481445312 × 2 - 1) × π
    0.415863037109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.30647226224501
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37678403} λ = -0.37678403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30647226224501))-π/2
    2×atan(3.69312233772763)-π/2
    2×1.30636360408463-π/2
    2.61272720816927-1.57079632675     		φ = 1.04193088
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37678403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.588135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04193088 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.698242°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28838 KachelY 19141 -0.37678403 1.04193088 -21.588135 59.698242
    Oben rechts KachelX + 1 28839 KachelY 19141 -0.37668816 1.04193088 -21.582642 59.698242
    Unten links KachelX 28838 KachelY + 1 19142 -0.37678403 1.04188251 -21.588135 59.695471
    Unten rechts KachelX + 1 28839 KachelY + 1 19142 -0.37668816 1.04188251 -21.582642 59.695471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04193088-1.04188251) × R
    4.83700000000198e-05 × 6371000     		dl = 308.165270000126m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04193088-1.04188251) × R
    4.83700000000198e-05 × 6371000     		dr = 308.165270000126m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37678403--0.37668816) × cos(1.04193088) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.50455411552362 × 6371000     		do = 308.175483064987m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37678403--0.37668816) × cos(1.04188251) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.504595876627326 × 6371000     		du = 308.200990236393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04193088)-sin(1.04188251))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.50455411552362-0.504595876627326)×R²
    abs(-0.37668816--0.37678403)×4.17611037064614e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.17611037064614e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.17611037064614e-05×40589641000000     		ar = 94972.9111768784m²