Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28837 / 20646
↖ ↑ ↗
← N 76.736617°
W100.796814°		 ← 70.07 m → N 76.736617°
W100.794067°		 →
↑
70.08 m
↓
↑
70.08 m
↓
N 76.735987°
W100.796814°		 ← 70.08 m →
4 911 m²		 N 76.735987°
W100.794067°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28837 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20646 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220012664794922 y=0.157520294189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220012664794922 × 217)
    floor (0.220012664794922 × 131072)
    floor (28837.5)     		tx = 28837
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157520294189453 × 217)
    floor (0.157520294189453 × 131072)
    floor (20646.5)     		ty = 20646
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28837 / 20646 ti = "17/28837/20646"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28837/20646.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28837 ÷ 217
    28837 ÷ 131072     		x = 0.220008850097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20646 ÷ 217
    20646 ÷ 131072     		y = 0.157516479492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220008850097656 × 2 - 1) × π
    -0.559982299804688 × 3.1415926535     		Λ = -1.75923628
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157516479492188 × 2 - 1) × π
    0.684967041015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.15188742394432
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75923628} λ = -1.75923628}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15188742394432))-π/2
    2×atan(8.60107696531755)-π/2
    2×1.4550514744992-π/2
    2.91010294899839-1.57079632675     		φ = 1.33930662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75923628} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.796814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33930662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.736617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28837 KachelY 20646 -1.75923628 1.33930662 -100.796814 76.736617
    Oben rechts KachelX + 1 28838 KachelY 20646 -1.75918834 1.33930662 -100.794067 76.736617
    Unten links KachelX 28837 KachelY + 1 20647 -1.75923628 1.33929562 -100.796814 76.735987
    Unten rechts KachelX + 1 28838 KachelY + 1 20647 -1.75918834 1.33929562 -100.794067 76.735987
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33930662-1.33929562) × R
    1.09999999999832e-05 × 6371000     		dl = 70.0809999998933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33930662-1.33929562) × R
    1.09999999999832e-05 × 6371000     		dr = 70.0809999998933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75923628--1.75918834) × cos(1.33930662) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.229427747476486 × 6371000     		do = 70.0731395498174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75923628--1.75918834) × cos(1.33929562) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.229438454045251 × 6371000     		du = 70.0764096115054m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33930662)-sin(1.33929562))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.229427747476486-0.229438454045251)×R²
    abs(-1.75918834--1.75923628)×1.07065687652008e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.07065687652008e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.07065687652008e-05×40589641000000     		ar = 4910.9102773769m²