Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28836 / 43096
↖ ↑ ↗
← S 49.239121°
W 21.599121°		 ← 398.83 m → S 49.239121°
W 21.593628°		 →
↑
398.76 m
↓
↑
398.76 m
↓
S 49.242707°
W 21.599121°		 ← 398.80 m →
159 031 m²		 S 49.242707°
W 21.593628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28836 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440010070800781 y=0.657600402832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440010070800781 × 216)
    floor (0.440010070800781 × 65536)
    floor (28836.5)     		tx = 28836
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657600402832031 × 216)
    floor (0.657600402832031 × 65536)
    floor (43096.5)     		ty = 43096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28836 / 43096 ti = "16/28836/43096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28836/43096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28836 ÷ 216
    28836 ÷ 65536     		x = 0.44000244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43096 ÷ 216
    43096 ÷ 65536     		y = 0.6575927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44000244140625 × 2 - 1) × π
    -0.1199951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37697578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6575927734375 × 2 - 1) × π
    -0.315185546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.99018459855188
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37697578} λ = -0.37697578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.99018459855188))-π/2
    2×atan(0.371508104833621)-π/2
    2×0.355705773749747-π/2
    0.711411547499495-1.57079632675     		φ = -0.85938478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37697578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.599121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85938478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.239121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28836 KachelY 43096 -0.37697578 -0.85938478 -21.599121 -49.239121
    Oben rechts KachelX + 1 28837 KachelY 43096 -0.37687990 -0.85938478 -21.593628 -49.239121
    Unten links KachelX 28836 KachelY + 1 43097 -0.37697578 -0.85944737 -21.599121 -49.242707
    Unten rechts KachelX + 1 28837 KachelY + 1 43097 -0.37687990 -0.85944737 -21.593628 -49.242707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85938478--0.85944737) × R
    6.25900000000845e-05 × 6371000     		dl = 398.760890000538m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85938478--0.85944737) × R
    6.25900000000845e-05 × 6371000     		dr = 398.760890000538m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37697578--0.37687990) × cos(-0.85938478) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.652903584563817 × 6371000     		do = 398.827120928082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37697578--0.37687990) × cos(-0.85944737) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.652856175051096 × 6371000     		du = 398.79816075707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85938478)-sin(-0.85944737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652903584563817-0.652856175051096)×R²
    abs(-0.37687990--0.37697578)×4.74095127216412e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.74095127216412e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.74095127216412e-05×40589641000000     		ar = 159030.883657772m²