Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28831 / 42453
↖ ↑ ↗
← S 46.878968°
W 21.626587°		 ← 417.54 m → S 46.878968°
W 21.621094°		 →
↑
417.49 m
↓
↑
417.49 m
↓
S 46.882723°
W 21.626587°		 ← 417.51 m →
174 314 m²		 S 46.882723°
W 21.621094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28831 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42453 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439933776855469 y=0.647789001464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439933776855469 × 216)
    floor (0.439933776855469 × 65536)
    floor (28831.5)     		tx = 28831
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647789001464844 × 216)
    floor (0.647789001464844 × 65536)
    floor (42453.5)     		ty = 42453
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28831 / 42453 ti = "16/28831/42453"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28831/42453.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28831 ÷ 216
    28831 ÷ 65536     		x = 0.439926147460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42453 ÷ 216
    42453 ÷ 65536     		y = 0.647781372070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439926147460938 × 2 - 1) × π
    -0.120147705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37745515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647781372070312 × 2 - 1) × π
    -0.295562744140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.928537745640488
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37745515} λ = -0.37745515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.928537745640488))-π/2
    2×atan(0.395131070275297)-π/2
    2×0.376301989713891-π/2
    0.752603979427782-1.57079632675     		φ = -0.81819235
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37745515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.626587°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81819235 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.878968°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28831 KachelY 42453 -0.37745515 -0.81819235 -21.626587 -46.878968
    Oben rechts KachelX + 1 28832 KachelY 42453 -0.37735927 -0.81819235 -21.621094 -46.878968
    Unten links KachelX 28831 KachelY + 1 42454 -0.37745515 -0.81825788 -21.626587 -46.882723
    Unten rechts KachelX + 1 28832 KachelY + 1 42454 -0.37735927 -0.81825788 -21.621094 -46.882723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81819235--0.81825788) × R
    6.55299999999803e-05 × 6371000     		dl = 417.491629999875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81819235--0.81825788) × R
    6.55299999999803e-05 × 6371000     		dr = 417.491629999875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37745515--0.37735927) × cos(-0.81819235) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.683541747714745 × 6371000     		do = 417.542488233307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37745515--0.37735927) × cos(-0.81825788) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.683493915151887 × 6371000     		du = 417.513269641492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81819235)-sin(-0.81825788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683541747714745-0.683493915151887)×R²
    abs(-0.37735927--0.37745515)×4.78325628583409e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.78325628583409e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.78325628583409e-05×40589641000000     		ar = 174314.394809914m²