Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28830 / 43102
↖ ↑ ↗
← S 49.260635°
W 21.632080°		 ← 398.61 m → S 49.260635°
W 21.626587°		 →
↑
398.57 m
↓
↑
398.57 m
↓
S 49.264220°
W 21.632080°		 ← 398.58 m →
158 869 m²		 S 49.264220°
W 21.626587°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28830 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439918518066406 y=0.657691955566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439918518066406 × 216)
    floor (0.439918518066406 × 65536)
    floor (28830.5)     		tx = 28830
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657691955566406 × 216)
    floor (0.657691955566406 × 65536)
    floor (43102.5)     		ty = 43102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28830 / 43102 ti = "16/28830/43102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28830/43102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28830 ÷ 216
    28830 ÷ 65536     		x = 0.439910888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43102 ÷ 216
    43102 ÷ 65536     		y = 0.657684326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439910888671875 × 2 - 1) × π
    -0.12017822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37755102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657684326171875 × 2 - 1) × π
    -0.31536865234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.990759841347321
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37755102} λ = -0.37755102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.990759841347321))-π/2
    2×atan(0.371294458927893)-π/2
    2×0.355518025617512-π/2
    0.711036051235024-1.57079632675     		φ = -0.85976028
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37755102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.632080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85976028 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.260635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28830 KachelY 43102 -0.37755102 -0.85976028 -21.632080 -49.260635
    Oben rechts KachelX + 1 28831 KachelY 43102 -0.37745515 -0.85976028 -21.626587 -49.260635
    Unten links KachelX 28830 KachelY + 1 43103 -0.37755102 -0.85982284 -21.632080 -49.264220
    Unten rechts KachelX + 1 28831 KachelY + 1 43103 -0.37745515 -0.85982284 -21.626587 -49.264220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85976028--0.85982284) × R
    6.25599999999338e-05 × 6371000     		dl = 398.569759999578m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85976028--0.85982284) × R
    6.25599999999338e-05 × 6371000     		dr = 398.569759999578m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37755102--0.37745515) × cos(-0.85976028) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.652619119435108 × 6371000     		do = 398.611776619125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37755102--0.37745515) × cos(-0.85982284) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.6525717173132 × 6371000     		du = 398.582823982791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85976028)-sin(-0.85982284))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652619119435108-0.6525717173132)×R²
    abs(-0.37745515--0.37755102)×4.74021219083465e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74021219083465e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74021219083465e-05×40589641000000     		ar = 158868.830369161m²