Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28830 / 43100
↖ ↑ ↗
← S 49.253465°
W 21.632080°		 ← 398.67 m → S 49.253465°
W 21.626587°		 →
↑
398.63 m
↓
↑
398.63 m
↓
S 49.257050°
W 21.632080°		 ← 398.64 m →
158 917 m²		 S 49.257050°
W 21.626587°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28830 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439918518066406 y=0.657661437988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439918518066406 × 216)
    floor (0.439918518066406 × 65536)
    floor (28830.5)     		tx = 28830
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657661437988281 × 216)
    floor (0.657661437988281 × 65536)
    floor (43100.5)     		ty = 43100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28830 / 43100 ti = "16/28830/43100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28830/43100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28830 ÷ 216
    28830 ÷ 65536     		x = 0.439910888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43100 ÷ 216
    43100 ÷ 65536     		y = 0.65765380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439910888671875 × 2 - 1) × π
    -0.12017822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37755102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65765380859375 × 2 - 1) × π
    -0.3153076171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.99056809374884
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37755102} λ = -0.37755102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.99056809374884))-π/2
    2×atan(0.371365660574876)-π/2
    2×0.355580599237487-π/2
    0.711161198474973-1.57079632675     		φ = -0.85963513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37755102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.632080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85963513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.253465°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28830 KachelY 43100 -0.37755102 -0.85963513 -21.632080 -49.253465
    Oben rechts KachelX + 1 28831 KachelY 43100 -0.37745515 -0.85963513 -21.626587 -49.253465
    Unten links KachelX 28830 KachelY + 1 43101 -0.37755102 -0.85969770 -21.632080 -49.257050
    Unten rechts KachelX + 1 28831 KachelY + 1 43101 -0.37745515 -0.85969770 -21.626587 -49.257050
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85963513--0.85969770) × R
    6.2569999999984e-05 × 6371000     		dl = 398.633469999898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85963513--0.85969770) × R
    6.2569999999984e-05 × 6371000     		dr = 398.633469999898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37755102--0.37745515) × cos(-0.85963513) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.652713938744302 × 6371000     		do = 398.66969109354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37755102--0.37745515) × cos(-0.85969770) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.652666534155732 × 6371000     		du = 398.6407369506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85963513)-sin(-0.85969770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652713938744302-0.652666534155732)×R²
    abs(-0.37745515--0.37755102)×4.74045885698882e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74045885698882e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74045885698882e-05×40589641000000     		ar = 158917.311351107m²